問題5.2: $f(x, y) = \cos(xy) + \sin^{-1}(xy)$ の値を求めよ（図形を用いても良い）。

1. 問題の内容

問題5.2: $f(x, y) = \cos(xy) + \sin^{-1}(xy)$ の値を求めよ（図形を用いても良い）。

2. 解き方の手順

$\sin^{-1}(xy)$ が定義されるためには、$-1 \le xy \le 1$ でなければなりません。

また、$\cos(xy)$ は任意の $xy$ に対して定義されます。

$f(x, y) = \cos(xy) + \sin^{-1}(xy)$ の取りうる値を考えます。

$u = xy$ とおくと、関数は $f(u) = \cos(u) + \sin^{-1}(u)$ となります。

$u$ の範囲は $-1 \le u \le 1$ です。

$u$ の値を変えながら、この関数 $f(u)$ の値を考えます。

例えば、$u = 0$ のとき、$f(0) = \cos(0) + \sin^{-1}(0) = 1 + 0 = 1$ です。

$u = 1$ のとき、$f(1) = \cos(1) + \sin^{-1}(1) = \cos(1) + \frac{\pi}{2}$ です。

$u = -1$ のとき、$f(-1) = \cos(-1) + \sin^{-1}(-1) = \cos(1) - \frac{\pi}{2}$ です。

関数 $f(u)$ の値域を求めるために、微分を考えます。

$f'(u) = -\sin(u) + \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$

$f'(u) = 0$ となる $u$ を求めるのは難しいので、$f(u)$ の値域を求めるのは難しいです。

しかし問題文に「値を求めよ」とあるので、特定の値に定まるはずです。

$xy$ の取りうる範囲は$-1 \le xy \le 1$です。

3. 最終的な答え

この問題の意味が不明瞭であるため、「値を求めよ」という要求に応えられません。

問題文に誤りがあるか、あるいは別の解釈が必要です。