問題は以下の2つの計算です。 (5) $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ (6) $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

問題は以下の2つの計算です。

(5) $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$

(6) $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

2. 解き方の手順

(5) 分母の有理化を行います。分母$\sqrt{2}-1$の共役な複素数は$\sqrt{2}+1$なので、分子と分母に$\sqrt{2}+1$をかけます。

$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)}$

$(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 1) = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} + 1 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$

$(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$

よって、

$\frac{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{1} = 3 + 2\sqrt{2}$

(6) 分子と分母が同じ値なので、$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=1$となります。

3. 最終的な答え

(5) $3 + 2\sqrt{2}$

(6) $1$