問題7は、1から100までの自然数について、指定された条件を満たす数の和を求める問題です。 問題●は、等差数列$\{a_n\}$において、第10項が-20、第20項が-50であるとき、指定された項や条件を満たす項を求める問題です。

1. 問題の内容

問題7は、1から100までの自然数について、指定された条件を満たす数の和を求める問題です。

問題●は、等差数列$\{a_n\}$において、第10項が-20、第20項が-50であるとき、指定された項や条件を満たす項を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題7

(1) 5の倍数の和：

1から100までの5の倍数は、5, 10, 15, ..., 100です。これは初項5、末項100、項数20の等差数列です。

等差数列の和の公式：$S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ を用いる。

(2) 6の倍数の和：

1から100までの6の倍数は、6, 12, 18, ..., 96です。これは初項6、末項96、項数16の等差数列です。

等差数列の和の公式：$S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ を用いる。

(3) 5と6の公倍数の和：

5と6の公倍数は、30の倍数です。1から100までの30の倍数は、30, 60, 90です。

和を計算します。

(4) 5の倍数または6の倍数の和：

5の倍数の和と6の倍数の和を足し合わせ、5と6の公倍数の和を引きます。

$5の倍数または6の倍数の和 = (5の倍数の和) + (6の倍数の和) - (5と6の公倍数の和)$

(5) 6で割り切れない数の和：

1から100までの自然数の和から、6の倍数の和を引きます。

1から100までの自然数の和は、$S = \frac{100(1+100)}{2}$で求められます。

(6) 5の倍数でも6の倍数でもない数の和：

1から100までの自然数の和から、5の倍数または6の倍数の和を引きます。

問題●

(1) 第16項を求める：

等差数列の一般項は、$a_n = a_1 + (n-1)d$で表されます。

与えられた条件から、

$a_{10} = a_1 + 9d = -20$

$a_{20} = a_1 + 19d = -50$

この連立方程式を解いて、$a_1$と$d$を求めます。その後、$a_{16}$を計算します。

(2) 第何項が初めて負となるか：

一般項$a_n = a_1 + (n-1)d$を用いて、$a_n < 0$となる最小の$n$を求めます。

(3) -110は第何項か：

$a_n = a_1 + (n-1)d = -110$となる$n$を求めます。

(4) 第何項が初めて-500より小さくなるか：

$a_n = a_1 + (n-1)d < -500$となる最小の$n$を求めます。

3. 最終的な答え

問題7

(1) 5の倍数の和：1050

(2) 6の倍数の和：816

(3) 5と6の公倍数の和：180

(4) 5の倍数または6の倍数の和：1050 + 816 - 180 = 1686

(5) 6で割り切れない数の和：5050 - 816 = 4234

(6) 5の倍数でも6の倍数でもない数の和：5050 - 1686 = 3364

問題●

まず、$a_1$と$d$を求める。

$a_{10} = a_1 + 9d = -20$

$a_{20} = a_1 + 19d = -50$

上の式から下の式を引くと、$10d = -30$より、$d = -3$

$a_1 + 9(-3) = -20$より、$a_1 = -20 + 27 = 7$

よって、$a_n = 7 + (n-1)(-3) = 7 - 3n + 3 = 10 - 3n$

(1) 第16項：$a_{16} = 10 - 3(16) = 10 - 48 = -38$

(2) 第何項が初めて負となるか：$10 - 3n < 0$より、$3n > 10$、$n > \frac{10}{3} = 3.33...$ よって、第4項

(3) -110は第何項か：$10 - 3n = -110$より、$3n = 120$、$n = 40$ よって、第40項

(4) 第何項が初めて-500より小さくなるか：$10 - 3n < -500$より、$3n > 510$、$n > 170$ よって、第171項

問題●の答え

(1) 第16項：-38

(2) 第4項

(3) 第40項

(4) 第171項