与えられた2次正方行列 $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ の2乗と3乗を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた2次正方行列

$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

の2乗と3乗を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列を$A$とします。つまり、

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

です。

$A$の2乗$A^2$は、

$A^2 = A \times A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 1 \times 1 + (-1) \times (-1) & 1 \times (-1) + (-1) \times 0 \\ (-1) \times 1 + 0 \times (-1) & (-1) \times (-1) + 0 \times 0 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 1 + 1 & -1 + 0 \\ -1 + 0 & 1 + 0 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

$A$の3乗$A^3$は、$A^2$と$A$の積で計算できます。

$A^3 = A^2 \times A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 2 \times 1 + (-1) \times (-1) & 2 \times (-1) + (-1) \times 0 \\ (-1) \times 1 + 1 \times (-1) & (-1) \times (-1) + 1 \times 0 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 2 + 1 & -2 + 0 \\ -1 - 1 & 1 + 0 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^2 = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

$A^3 = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$