与えられた式 $\frac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$ を計算し、分母を有理化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$ を計算し、分母を有理化せよ。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数である $\sqrt{7} + \sqrt{3}$ を分子と分母の両方に掛けます。

$\frac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})}$

分母を展開します。$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ を用います。

$(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4$

したがって、

$\frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4}$

分子と分母を2で割ります。

$\frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2}$