問題は、2つの計算問題（掛け算と割り算）における、不明な数字（#で表される）を求める問題です。 問題7は、ある3桁の数（百の位と十の位が不明、一の位が1）と、ある2桁の数（十の位が3、一の位が不明）の掛け算の結果から、不明な数字を特定する問題です。最終的な答えは547です。 問題8は、7635をある3桁の数（110いくつ）で割った筆算の途中経過が与えられており、不明な数字を特定する問題です。

1. 問題の内容

問題は、2つの計算問題（掛け算と割り算）における、不明な数字（#で表される）を求める問題です。

問題7は、ある3桁の数（百の位と十の位が不明、一の位が1）と、ある2桁の数（十の位が3、一の位が不明）の掛け算の結果から、不明な数字を特定する問題です。最終的な答えは547です。

問題8は、7635をある3桁の数（110いくつ）で割った筆算の途中経過が与えられており、不明な数字を特定する問題です。

2. 解き方の手順

【7】

* **一の位を確定させる:**

掛け算の結果の百の位は5であることから、3#に1をかけたとき、繰り上がりがないか、または1繰り上がりの可能性が高いです。そして、結果の百の位は5であるため、3#の一の位の候補は、繰り上がりがない場合は、5÷3で切り捨てた1。繰り上がりがある場合は、(15÷3の切り捨て)になるので、35と仮定してみる。つまり、$31 \times \#\#1$の一の位が547になるものを考える。

$1 \times \#$の一の位が7なので、\#は

7.

* **十の位を確定させる:**

$31 \times 37$を計算してみる。

$31 \times 37 = 1147$

これは547ではないので間違っている。

繰り上がりがないと仮定すると、一の位が7になる数が思い当たらない。

繰り上がりの計算を考慮すると、$3\times1 = 3$に繰り上がり分が足されて、4,5になる場合を考えることができる。

繰り上がりが1であるとすると、$3\times1 = 3 + 1 = 4$となり、繰り上がりは発生しない。

繰り上がりが2であるとすると、$3\times1 = 3 + 2 = 5$となり、繰り上がりが2である必要がある。

繰り上がりが2になる場合、$x \times 3\#$の一の位が2になる$x$を考えると、$x$は4か9になる。

$41 \times 3\# = 1547$となるように\#を考えると、37の場合近い値になる。

$41 \times 37 = 1517$

$41 \times 38 = 1558$

$91 \times 3\#$で547となる組み合わせはない。

問題文をよく読むと、同じ数字とは限らないと書いてある。

最終結果が$\Box 547$であるので、3桁の数字$\times$2桁の数字の結果は4桁になる。

このことを考慮して、\#\#1の一の位と3\#の一の位を検討し直す必要がある。

$\#1 \times \# = \#7$となる数字を検討する。候補は7, 17, 27, 37...など

$\#1 \times 30 = \#547$となる数字を検討する。

$547 \div 30 \approx 18$なので、候補は181, 191...

$181 \times 3 = 543$

$181 \times 31 = 5611$

$181 \times 32 = 5792$

$181 \times 33 = 5973$

$181 \times 34 = 6154$

$181 \times 35 = 6335$

$181 \times 36 = 6516$

$181 \times 37 = 6697$

$181 \times 38 = 6878$

$181 \times 39 = 7059$

仮に一の位が7の場合を検討する。$181 \times 37$の十の位は$181 \times 7$と$181 \times 30$の和の一の位なので7になる。

$121 \times 35 = 4235$

$131 \times 35 = 4585$

$141 \times 35 = 4935$

$151 \times 35 = 5285$

$161 \times 35 = 5635$

最終結果が$\Box 547$なので、100の位が5になる組み合わせを探す。

$151 \times 3\#$で$\Box 547$となる組み合わせはなさそう。

【8】

* **割られる数と商の百の位を確定させる:**

$76 \div 11$を計算すると、6余り10となるので、商の百の位は6か7である。仮に6とすると、$11\# \times 6$が76以下になる数字を探す必要がある。

$119 \times 6 = 714$なので、6と仮定して良さそう。

$11\# \times 6$は$763$よりも小さくなくてはならないので、$11\# \times 6 < 763$となる\#を考える。

\#は4,5,6あたりが候補になる。

* **割る数の十の位を確定させる:**

次に、$763 - (11\# \times 6) = 55$となる数を考える。

$763 - 555 = 208$となる。

$208 \div 6 = 34.666$

$110 + 34 = 144$

$11\# \times 6 = \#\#\#$の一の位が8になる数字は存在しない。

なので、割る数が7で試してみる。

$11\# \times 7 = \#\#\#$

$763 \div 110 \approx 6$

$103 \div 119 \approx 0.8$

$76 \div 11$を計算すると、商の百の位は6であると仮定する。$11\# \times 6 < 763$

$763 - 555 = 208$

$208$は割り算の余りの数なので、正しくない。

$11\# \times 6 = 708$となる数字は存在しない。

割る数の十の位の数値を求める。$11\# \times \#$から求めると計算が複雑になるので、割られる数から逆算することを考える。

$555 + 83 = 638$

$11\# \times 5 = 638$となる\#を考える。

これは割り切れないので、上の計算で繰り下がりが発生している必要がある。

$555 + 83 + 100 = 738$

$738 \div 5 = 147.6$

$555 + 83 + 10 = 648$

$648 \div 5 = 129.6$

商が6であると仮定して、割る数を確定させる。

$763 - (11\# \times 6)$の結果が$555$となる\#を考える。

$763 - (11\# \times 6) = 555$

$11\# \times 6 = 208$

$208 \div 6 = 34.66$

34ではないので矛盾する。

3. 最終的な答え

問題7: 不明

問題8: 不明