問題は、$x^5 + \frac{1}{x^5}$ の値を求めることです。ただし、$x + \frac{1}{x}$ の値が与えられていません。 問題を解くには、与えられていない $x + \frac{1}{x}$ の値を仮定して解く必要があります。ここでは、$x + \frac{1}{x} = a$ と仮定して問題を解きます。

1. 問題の内容

問題は、$x^5 + \frac{1}{x^5}$ の値を求めることです。ただし、$x + \frac{1}{x}$ の値が与えられていません。 問題を解くには、与えられていない $x + \frac{1}{x}$ の値を仮定して解く必要があります。ここでは、$x + \frac{1}{x} = a$ と仮定して問題を解きます。

2. 解き方の手順

まず、$x + \frac{1}{x} = a$ とします。

($x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ より

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = a^2 - 2$

次に、$x^3 + \frac{1}{x^3}$ を計算します。

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x}) = a^3 - 3a$

$x^5 + \frac{1}{x^5}$を計算するために、$(x^2 + \frac{1}{x^2})(x^3 + \frac{1}{x^3})$ を計算します。

$(x^2 + \frac{1}{x^2})(x^3 + \frac{1}{x^3}) = x^5 + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^5} = x^5 + \frac{1}{x^5} + x + \frac{1}{x}$

したがって、

$x^5 + \frac{1}{x^5} = (x^2 + \frac{1}{x^2})(x^3 + \frac{1}{x^3}) - (x + \frac{1}{x})$

$x^5 + \frac{1}{x^5} = (a^2 - 2)(a^3 - 3a) - a$

$x^5 + \frac{1}{x^5} = a^5 - 3a^3 - 2a^3 + 6a - a$

$x^5 + \frac{1}{x^5} = a^5 - 5a^3 + 5a$

3. 最終的な答え

$x + \frac{1}{x} = a$ と仮定した場合、$x^5 + \frac{1}{x^5}$ は $a^5 - 5a^3 + 5a$ になります。

この問題の答えは、$a^5 - 5a^3 + 5a$ です。