与えられた二つの不等式を解きます。 (1) $\frac{3}{x^2+2} < -2x^2+3$ (2) $\frac{14-10x}{x^2-4x+3} \geq x^2+3x+5$

1. 問題の内容

与えられた二つの不等式を解きます。

(1) $\frac{3}{x^2+2} < -2x^2+3$

(2) $\frac{14-10x}{x^2-4x+3} \geq x^2+3x+5$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{3}{x^2+2} < -2x^2+3$

まず、両辺に $x^2+2$ をかけます。$x^2+2$ は常に正なので、不等号の向きは変わりません。

$3 < (x^2+2)(-2x^2+3)$

$3 < -2x^4 + 3x^2 - 4x^2 + 6$

$3 < -2x^4 - x^2 + 6$

$2x^4 + x^2 - 3 < 0$

$2x^4 + x^2 - 3 = (x^2-1)(2x^2+3) < 0$

ここで、$2x^2+3$ は常に正なので、$x^2-1 < 0$ である必要があります。

$x^2 < 1$

$-1 < x < 1$

(2) $\frac{14-10x}{x^2-4x+3} \geq x^2+3x+5$

$x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)$ なので、$x \neq 1, 3$ です。

両辺に $(x-1)(x-3)$ をかけます。

ここで、$x < 1$, $1 < x < 3$, $x > 3$ の場合に分けて考えます。

(i) $x < 1$ のとき、$(x-1)(x-3) > 0$ なので不等号の向きは変わりません。

$14-10x \geq (x^2+3x+5)(x^2-4x+3)$

$14-10x \geq x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 3x^3 - 12x^2 + 9x + 5x^2 - 20x + 15$

$14-10x \geq x^4 - x^3 - 4x^2 - 11x + 15$

$0 \geq x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1$

(ii) $1 < x < 3$ のとき、$(x-1)(x-3) < 0$ なので不等号の向きが変わります。

$14-10x \leq (x^2+3x+5)(x^2-4x+3)$

$14-10x \leq x^4 - x^3 - 4x^2 - 11x + 15$

$0 \leq x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1$

(iii) $x > 3$ のとき、$(x-1)(x-3) > 0$ なので不等号の向きは変わりません。

$14-10x \geq (x^2+3x+5)(x^2-4x+3)$

$14-10x \geq x^4 - x^3 - 4x^2 - 11x + 15$

$0 \geq x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1$

$x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1 = 0$ を解くのは難しいので、この問題はこれ以上解くのは困難です。

3. 最終的な答え

(1) $-1 < x < 1$

(2) $x \neq 1, 3$ かつ $x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1$ に関する不等式を満たす $x$