$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求めます。 (1) $a$ (2) $b$ (3) $a + b + b^2$

1. 問題の内容

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求めます。

(1) $a$

(2) $b$

(3) $a + b + b^2$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}$ を簡単にします。分母の有理化を行います。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - 1} = 2 + \sqrt{2}$

(1) $a$ を求める

$\sqrt{2}$ は $1 < \sqrt{2} < 2$ であることがわかります。より正確には、$1.4 < \sqrt{2} < 1.5$ なので、$2 + 1 < 2 + \sqrt{2} < 2 + 2$ となり、$3 < 2 + \sqrt{2} < 4$ となります。

したがって、$2 + \sqrt{2}$ の整数部分は $3$ です。

よって、$a = 3$

(2) $b$ を求める

$b$ は小数部分なので、$b = (2 + \sqrt{2}) - a = (2 + \sqrt{2}) - 3 = \sqrt{2} - 1$

(3) $a + b + b^2$ を求める

$a + b + b^2 = 3 + (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} - 1)^2 = 3 + \sqrt{2} - 1 + (2 - 2\sqrt{2} + 1) = 3 + \sqrt{2} - 1 + 3 - 2\sqrt{2} = 5 - \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3$

(2) $b = \sqrt{2} - 1$

(3) $a + b + b^2 = 5 - \sqrt{2}$