ある整式を $x^2+1$ で割ると、商が $x^2-2x+3$ で、余りが $x+1$ である。この整式を $x^2-x+2$ で割ったときの商と余りを求める。

1. 問題の内容

ある整式を $x^2+1$ で割ると、商が $x^2-2x+3$ で、余りが $x+1$ である。この整式を $x^2-x+2$ で割ったときの商と余りを求める。

2. 解き方の手順

まず、ある整式を $P(x)$ とすると、問題文より、

$P(x) = (x^2+1)(x^2-2x+3) + (x+1)$

と表せる。

これを展開して整理すると、

$P(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 + x^2 - 2x + 3 + x + 1$

$P(x) = x^4 - 2x^3 + 4x^2 - x + 4$

次に、$P(x)$ を $x^2-x+2$ で割る。

筆算を行うか、もしくは以下のように考える。

$P(x) = (x^2-x+2)Q(x) + R(x)$ （$Q(x)$ は商、$R(x)$ は余り）

$P(x)$ は4次式、$x^2-x+2$ は2次式なので、$Q(x)$ は2次式、$R(x)$ は1次式または定数となる。

$Q(x) = x^2 + ax + b$、$R(x) = cx+d$ とおくと、

$x^4 - 2x^3 + 4x^2 - x + 4 = (x^2-x+2)(x^2+ax+b) + cx+d$

右辺を展開すると、

$x^4 - 2x^3 + 4x^2 - x + 4 = x^4 + ax^3 + bx^2 - x^3 - ax^2 - bx + 2x^2 + 2ax + 2b + cx + d$

$x^4 - 2x^3 + 4x^2 - x + 4 = x^4 + (a-1)x^3 + (b-a+2)x^2 + (2a-b+c)x + (2b+d)$

係数を比較すると、

$a-1 = -2$

$b-a+2 = 4$

$2a-b+c = -1$

$2b+d = 4$

これらを解くと、

$a = -1$

$b = 4 - 2 + a = 2 + (-1) = 1$

$c = -1 - 2a + b = -1 - 2(-1) + 1 = -1 + 2 + 1 = 2$

$d = 4 - 2b = 4 - 2(1) = 2$

したがって、$Q(x) = x^2 - x + 1$、$R(x) = 2x + 2$

3. 最終的な答え

商：$x^2-x+1$

余り：$2x+2$