2つの放物線 $y = x^2 - x + 5$ と $y = -x^2 + 3x + 5$ によって囲まれる部分の面積 $S$ を求める問題です。 まず、$S$ を求めるための定積分を選択肢の中から選び、その積分を実行して $S$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2つの放物線 $y = x^2 - x + 5$ と $y = -x^2 + 3x + 5$ によって囲まれる部分の面積 $S$ を求める問題です。

まず、$S$ を求めるための定積分を選択肢の中から選び、その積分を実行して $S$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

ステップ1: 2つの放物線の交点を求めます。

$x^2 - x + 5 = -x^2 + 3x + 5$ を解きます。

$2x^2 - 4x = 0$

$2x(x - 2) = 0$

よって、$x = 0, 2$ が交点のx座標です。

ステップ2: 積分する関数を決定します。

$x = 0$ から $x = 2$ の区間で、$y = -x^2 + 3x + 5$ の方が $y = x^2 - x + 5$ よりも上にあるので、積分する関数は $(-x^2 + 3x + 5) - (x^2 - x + 5) = -2x^2 + 4x$ となります。

したがって、$S = \int_{0}^{2} (-2x^2 + 4x) dx$ となります。これは選択肢の6にあたります。

ステップ3: 積分を計算します。

$S = \int_{0}^{2} (-2x^2 + 4x) dx = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 2x^2 \right]_{0}^{2}$

$S = \left( -\frac{2}{3}(2)^3 + 2(2)^2 \right) - \left( -\frac{2}{3}(0)^3 + 2(0)^2 \right)$

$S = -\frac{16}{3} + 8 = -\frac{16}{3} + \frac{24}{3} = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

ス: 6

セ: 8

ソ: 3

$S = \frac{8}{3}$