SENSEI AI
About App

$x = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}$, $y = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}$ のとき、$x^2 + xy + y^2$ の値を求めよ。

代数学式の計算平方根因数分解
2025/5/11

1. 問題の内容

x=10+22x = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}, y=10−22y = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2} のとき、x2+xy+y2x^2 + xy + y^2 の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、x+yx+yとxyxyを計算します。
x+y=10+22+10−22=2102=10x + y = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}
xy=10+22×10−22=(10)2−(2)24=10−24=84=2xy = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2} = \frac{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{2})^2}{4} = \frac{10 - 2}{4} = \frac{8}{4} = 2
次に、x2+xy+y2x^2 + xy + y^2を変形します。
x2+xy+y2=(x+y)2−xyx^2 + xy + y^2 = (x+y)^2 - xy
ここで、x+y=10x+y = \sqrt{10}、xy=2xy = 2を代入します。
x2+xy+y2=(10)2−2=10−2=8x^2 + xy + y^2 = (\sqrt{10})^2 - 2 = 10 - 2 = 8

3. 最終的な答え

8

「代数学」の関連問題

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$, $P_1 = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 ...

行列行列のべき乗固有値固有ベクトル
2025/6/5

与えられた3x3行列の行列式、余因子行列、および逆行列を求める問題です。与えられた行列は $ \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 5 & 3 ...

線形代数行列行列式余因子行列逆行列
2025/6/5

与えられた式 $\frac{1}{1 + \sqrt{6} - \sqrt{7}}$ を簡単にする問題です。

式の計算有理化平方根
2025/6/5

与えられたベクトル $v_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \e...

線形代数ベクトル行列ガウス・ジョルダン消去法線形独立階数
2025/6/5

与えられた式 $\sqrt[3]{x^3(x+1)^2(x+2)}^2$ を簡略化して答えよ。

式の簡略化累乗根指数法則
2025/6/5

与えられた式は $\sqrt[3]{x^3(x+1)^2(x+2)}$ です。この式を簡単にすることを求められています。

根号式の簡単化代数式
2025/6/5

与えられた5つの行列それぞれについて、行列式を余因子展開を用いて計算します。

行列式余因子展開線形代数
2025/6/5

与えられた5つの行列の行列式を余因子展開を使って求めます。

行列行列式余因子展開
2025/6/5

与えられた5つの行列それぞれの行列式を、余因子展開を用いて計算します。

行列式余因子展開線形代数
2025/6/5

与えられた行列AとBの指定された余因子を計算する問題です。 行列 A = $\begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$, 行列 B = $\begin{...

行列余因子行列式
2025/6/5