(1) $(x^4+y^4)(x^2+y^2) \geq (x^3+y^3)^2$ を証明し、等号成立条件を求める。 (2) $x^4+y^4 \geq x^3y+xy^3$ を証明し、等号成立条件を求める。

1. 問題の内容

(1) $(x^4+y^4)(x^2+y^2) \geq (x^3+y^3)^2$ を証明し、等号成立条件を求める。

(2) $x^4+y^4 \geq x^3y+xy^3$ を証明し、等号成立条件を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式の両辺を展開し、差を取って変形する。

$(x^4+y^4)(x^2+y^2) - (x^3+y^3)^2 = x^6 + x^4y^2 + x^2y^4 + y^6 - (x^6 + 2x^3y^3 + y^6) = x^4y^2 + x^2y^4 - 2x^3y^3 = x^2y^2(x^2 - 2xy + y^2) = x^2y^2(x-y)^2$

$x^2y^2(x-y)^2 \geq 0$ より $(x^4+y^4)(x^2+y^2) \geq (x^3+y^3)^2$ が成り立つ。

等号成立条件は $x^2y^2(x-y)^2 = 0$ より、$x=0$ または $y=0$ または $x=y$。

(2) 不等式の差を取って変形する。

$x^4+y^4 - (x^3y+xy^3) = x^4 - x^3y - xy^3 + y^4 = x^3(x-y) - y^3(x-y) = (x-y)(x^3-y^3) = (x-y)(x-y)(x^2+xy+y^2) = (x-y)^2(x^2+xy+y^2)$

ここで、$x^2+xy+y^2 = x^2 + xy + \frac{1}{4}y^2 + \frac{3}{4}y^2 = (x+\frac{1}{2}y)^2 + \frac{3}{4}y^2 \geq 0$。

よって、$(x-y)^2(x^2+xy+y^2) \geq 0$ より、$x^4+y^4 \geq x^3y+xy^3$ が成り立つ。

等号成立条件は $(x-y)^2(x^2+xy+y^2)=0$。

$x^2+xy+y^2 = (x+\frac{1}{2}y)^2 + \frac{3}{4}y^2 = 0$ となるのは $x=0$ かつ $y=0$ のときのみ。

または $x=y$ のとき。

$x^2+xy+y^2 = 0$は $x=y=0$ のときのみ成立。

したがって、等号成立条件は $x=y$ のとき。

3. 最終的な答え

(1) $(x^4+y^4)(x^2+y^2) \geq (x^3+y^3)^2$ が成り立つ。等号成立条件は $x=0$ または $y=0$ または $x=y$。

(2) $x^4+y^4 \geq x^3y+xy^3$ が成り立つ。等号成立条件は $x=y$。