因数定理を用いて、与えられた3次式 $x^3 + 3x^2 - 4$ を因数分解する。

1. 問題の内容

因数定理を用いて、与えられた3次式 $x^3 + 3x^2 - 4$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、因数定理を使って、与えられた式が $x = a$ で0になるような $a$ を探します。$x = 1$ を代入すると、

$1^3 + 3(1)^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$ となり、与えられた式は $x = 1$ で0になることがわかります。

したがって、$x - 1$ は与えられた式の因数となります。

次に、多項式 $x^3 + 3x^2 - 4$ を $x - 1$ で割ります。

```

x^2 + 4x + 4

x - 1 | x^3 + 3x^2 + 0x - 4

x^3 - x^2

----------------

4x^2 + 0x

4x^2 - 4x

----------------

4x - 4

4x - 4

----------------

0

```

よって、$x^3 + 3x^2 - 4 = (x - 1)(x^2 + 4x + 4)$ となります。

さらに、$x^2 + 4x + 4$ は $(x + 2)^2$ と因数分解できるので、

$x^3 + 3x^2 - 4 = (x - 1)(x + 2)^2$ となります。

3. 最終的な答え

$(x - 1)(x + 2)^2$