$A = x^3 - 6xy^2 + 5y^3$ と $B = x - 2y$ が与えられたとき、AをBで割ったときの商と余りを求めます。

はい、承知いたしました。どの問題を解きますか？

画像には3つの問題がありますが、それぞれ個別に解答します。

**問題(3)について:**

1. 問題の内容

$A = x^3 - 6xy^2 + 5y^3$ と $B = x - 2y$ が与えられたとき、AをBで割ったときの商と余りを求めます。

2. 解き方の手順

多項式の割り算を行います。

$A = x^3 - 6xy^2 + 5y^3$

$B = x - 2y$

まず、$x^3$ を $x$ で割ると $x^2$ なので、商の最初の項は $x^2$ です。

$x^2(x-2y) = x^3 - 2x^2y$

$A - x^2(x-2y) = x^3 - 6xy^2 + 5y^3 - (x^3 - 2x^2y) = 2x^2y - 6xy^2 + 5y^3$

次に、$2x^2y$ を $x$ で割ると $2xy$ なので、商の次の項は $2xy$ です。

$2xy(x-2y) = 2x^2y - 4xy^2$

$2x^2y - 6xy^2 + 5y^3 - (2x^2y - 4xy^2) = -2xy^2 + 5y^3$

最後に、$-2xy^2$ を $x$ で割ると $-2y^2$ なので、商の最後の項は $-2y^2$ です。

$-2y^2(x-2y) = -2xy^2 + 4y^3$

$-2xy^2 + 5y^3 - (-2xy^2 + 4y^3) = y^3$

したがって、商は $x^2 + 2xy - 2y^2$、余りは $y^3$ です。

3. 最終的な答え

商: $x^2 + 2xy - 2y^2$

余り: $y^3$

**問題(4)について:**

1. 問題の内容

$A = x^3 + x^2y + xy^2 - 3y^3$ と $B = x^2 + 2xy + 3y^2$ が与えられたとき、AをBで割ったときの商と余りを求めます。

2. 解き方の手順

多項式の割り算を行います。

$A = x^3 + x^2y + xy^2 - 3y^3$

$B = x^2 + 2xy + 3y^2$

まず、$x^3$ を $x^2$ で割ると $x$ なので、商の最初の項は $x$ です。

$x(x^2 + 2xy + 3y^2) = x^3 + 2x^2y + 3xy^2$

$A - x(x^2 + 2xy + 3y^2) = x^3 + x^2y + xy^2 - 3y^3 - (x^3 + 2x^2y + 3xy^2) = -x^2y - 2xy^2 - 3y^3$

次に、$-x^2y$ を $x^2$ で割ると $-y$ なので、商の次の項は $-y$ です。

$-y(x^2 + 2xy + 3y^2) = -x^2y - 2xy^2 - 3y^3$

$-x^2y - 2xy^2 - 3y^3 - (-x^2y - 2xy^2 - 3y^3) = 0$

したがって、商は $x - y$、余りは $0$ です。

3. 最終的な答え

商: $x - y$

余り: $0$

**問題(5)について:**

1. 問題の内容

$A = x^3 + x^2y - xy^2 + y^3$ と $B = x^2 - xy + y^2$ が与えられたとき、AをBで割ったときの商と余りを求めます。

2. 解き方の手順

多項式の割り算を行います。

$A = x^3 + x^2y - xy^2 + y^3$

$B = x^2 - xy + y^2$

まず、$x^3$ を $x^2$ で割ると $x$ なので、商の最初の項は $x$ です。

$x(x^2 - xy + y^2) = x^3 - x^2y + xy^2$

$A - x(x^2 - xy + y^2) = x^3 + x^2y - xy^2 + y^3 - (x^3 - x^2y + xy^2) = 2x^2y - 2xy^2 + y^3$

次に、$2x^2y$ を $x^2$ で割ると $2y$ なので、商の次の項は $2y$ です。

$2y(x^2 - xy + y^2) = 2x^2y - 2xy^2 + 2y^3$

$2x^2y - 2xy^2 + y^3 - (2x^2y - 2xy^2 + 2y^3) = -y^3$

したがって、商は $x + 2y$、余りは $-y^3$ です。

3. 最終的な答え

商: $x + 2y$

余り: $-y^3$