複素数 $z$ が与えられた方程式を満たすとき、点 $z$ の集合が表す図形を求める問題です。 (1) $|z - i| = |iz - 1|$ (2) $|z - 1| = |2z - 2i|$

1. 問題の内容

複素数 $z$ が与えられた方程式を満たすとき、点 $z$ の集合が表す図形を求める問題です。

(1) $|z - i| = |iz - 1|$

(2) $|z - 1| = |2z - 2i|$

2. 解き方の手順

(1) $z = x + yi$ とおきます。

$|z - i| = |x + yi - i| = |x + (y - 1)i| = \sqrt{x^2 + (y - 1)^2}$

$|iz - 1| = |i(x + yi) - 1| = |ix - y - 1| = |-y - 1 + xi| = \sqrt{(y + 1)^2 + x^2}$

したがって、$\sqrt{x^2 + (y - 1)^2} = \sqrt{x^2 + (y + 1)^2}$ となります。両辺を2乗すると、

$x^2 + (y - 1)^2 = x^2 + (y + 1)^2$

$x^2 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + y^2 + 2y + 1$

$-2y = 2y$

$4y = 0$

$y = 0$

これは実軸を表します。

(2) $z = x + yi$ とおきます。

$|z - 1| = |x + yi - 1| = |x - 1 + yi| = \sqrt{(x - 1)^2 + y^2}$

$|2z - 2i| = |2(x + yi) - 2i| = |2x + 2yi - 2i| = |2x + (2y - 2)i| = \sqrt{(2x)^2 + (2y - 2)^2} = 2\sqrt{x^2 + (y - 1)^2}$

したがって、$\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = 2\sqrt{x^2 + (y - 1)^2}$ となります。両辺を2乗すると、

$(x - 1)^2 + y^2 = 4(x^2 + (y - 1)^2)$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 4(x^2 + y^2 - 2y + 1)$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 4x^2 + 4y^2 - 8y + 4$

$0 = 3x^2 + 3y^2 + 2x - 8y + 3$

$3x^2 + 2x + 3y^2 - 8y + 3 = 0$

$x^2 + \frac{2}{3}x + y^2 - \frac{8}{3}y + 1 = 0$

$(x + \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{9} + (y - \frac{4}{3})^2 - \frac{16}{9} + 1 = 0$

$(x + \frac{1}{3})^2 + (y - \frac{4}{3})^2 = \frac{1}{9} + \frac{16}{9} - \frac{9}{9} = \frac{8}{9}$

これは、中心 $(-\frac{1}{3}, \frac{4}{3})$、半径 $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ の円を表します。

3. 最終的な答え

(1) 実軸（直線 $y=0$）

(2) 中心 $(-\frac{1}{3}, \frac{4}{3})$、半径 $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ の円