問題は、(3) $(x^2 + 2x + 1)(x^2 + 2x - 3)$ と (5) $(a+b-c-d)(a-b-c+d)$ を展開することです。

## 問題の回答

1. 問題の内容

問題は、(3) $(x^2 + 2x + 1)(x^2 + 2x - 3)$ と (5) $(a+b-c-d)(a-b-c+d)$ を展開することです。

2. 解き方の手順

**(3) $(x^2 + 2x + 1)(x^2 + 2x - 3)$ の展開**

まず、$x^2 + 2x = A$ と置きます。すると、与式は $(A + 1)(A - 3)$ となります。

$(A + 1)(A - 3) = A^2 - 3A + A - 3 = A^2 - 2A - 3$

次に、$A = x^2 + 2x$ を代入します。

$(x^2 + 2x)^2 - 2(x^2 + 2x) - 3 = (x^4 + 4x^3 + 4x^2) - (2x^2 + 4x) - 3$

$= x^4 + 4x^3 + 4x^2 - 2x^2 - 4x - 3 = x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 4x - 3$

**(5) $(a+b-c-d)(a-b-c+d)$ の展開**

まず、$a-c = A$ と $b-d=B$と置きます。すると、与式は $(A+B)(A-B)$ となります。

$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$

次に、$A= a-c$と$B=b-d$ を代入します。

$(a-c)^2 - (b-d)^2 = (a^2 - 2ac + c^2) - (b^2 - 2bd + d^2)$

$= a^2 - 2ac + c^2 - b^2 + 2bd - d^2$

$= a^2 - b^2 + c^2 - d^2 - 2ac + 2bd$

3. 最終的な答え

(3) $x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 4x - 3$

(5) $a^2 - b^2 + c^2 - d^2 - 2ac + 2bd$