与えられた式 $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、同類項をまとめ、因数分解を行います。

まず式を展開します。

$a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc = a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 2abc$

次に、式を整理します。

$a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 2abc = a^2b + a^2c + abc + b^2c + b^2a + abc + c^2a + c^2b$

$= a^2(b+c) + a(b^2+c^2 + 2bc) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

共通因数 $(b+c)$ でくくります。

$a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c) = (b+c)(a^2 + a(b+c) + bc)$

$= (b+c)(a^2 + ab + ac + bc)$

括弧の中をさらに因数分解します。

$a^2 + ab + ac + bc = a(a+b) + c(a+b)$

共通因数 $(a+b)$ でくくります。

$a(a+b) + c(a+b) = (a+b)(a+c)$

したがって、

$(b+c)(a^2 + ab + ac + bc) = (b+c)(a+b)(a+c)$

したがって、

$a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc = (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$