（1）命題「$x=8$ ならば $x^2-7x-8=0$」の真偽、命題「$x^2-7x-8=0$ ならば $x=8$」の真偽、および $x^2-7x-8=0$ が $x=8$ であるための条件を求める。 （2）集合 $P=\{x \mid -5 < x < 5\}$, $Q=\{x \mid x < 5\}$ について、$P$ と $Q$ の包含関係および $-5 < x < 5$ が $x < 5$ であるための条件を求める。

1. 問題の内容

（1）命題「$x=8$ ならば $x^2-7x-8=0$」の真偽、命題「$x^2-7x-8=0$ ならば $x=8$」の真偽、および $x^2-7x-8=0$ が $x=8$ であるための条件を求める。

（2）集合 $P=\{x \mid -5 < x < 5\}$, $Q=\{x \mid x < 5\}$ について、$P$ と $Q$ の包含関係および $-5 < x < 5$ が $x < 5$ であるための条件を求める。

2. 解き方の手順

（1）

* 命題「$x=8$ ならば $x^2-7x-8=0$」について：$x=8$ を $x^2-7x-8$ に代入すると $8^2 - 7(8) - 8 = 64 - 56 - 8 = 0$ となるので、この命題は真である。

* 命題「$x^2-7x-8=0$ ならば $x=8$」について：$x^2 - 7x - 8 = (x-8)(x+1) = 0$ より $x=8$ または $x=-1$ である。したがって、$x=-1$ のとき $x=8$ は成り立たないので、この命題は偽である。

* $x^2-7x-8=0$ は $x=8$ であるための条件について：$x=8$ ならば $x^2-7x-8=0$ は成り立つが、$x^2-7x-8=0$ ならば $x=8$ とは限らないので、$x^2-7x-8=0$ は $x=8$ であるための必要条件である。

（2）

* 集合 $P=\{x \mid -5 < x < 5\}$ と $Q=\{x \mid x < 5\}$ について：$P$ の要素はすべて $Q$ の要素であるので、$P \subset Q$ である。

* $-5 < x < 5$ は $x < 5$ であるための条件について：$-5 < x < 5$ ならば $x < 5$ は成り立つ。一方、$x < 5$ であっても $-5 < x < 5$ とは限らない（例えば $x = -6$）。したがって、$-5 < x < 5$ は $x < 5$ であるための十分条件である。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 偽

(3) 必要

(4) $\subset$

(5) 十分