与えられた2変数多項式 $6x^2 - 7xy + 2y^2 - 6x + 5y - 12$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $6x^2 - 7xy + 2y^2 - 6x + 5y - 12$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$についての2次式として整理します。

$6x^2 + (-7y - 6)x + (2y^2 + 5y - 12)$

次に、定数項部分を因数分解します。

$2y^2 + 5y - 12 = (2y - 3)(y + 4)$

次に、$6x^2 + (-7y - 6)x + (2y - 3)(y + 4)$を因数分解できると仮定して、

$(ax + by + c)(dx + ey + f)$の形になると考えます。

$ad = 6$, $be = 2$, $cf = -12$となるような$a, b, c, d, e, f$を求めます。

試行錯誤の結果、以下のような組み合わせが見つかります。

$a = 2$, $d = 3$, $b = -1$, $e = -2$, $c = 3$, $f = -4$

$(2x - y + 3)(3x - 2y - 4)$

これを展開して確認すると、

$6x^2 - 4xy - 8x - 3xy + 2y^2 + 4y + 9x - 6y - 12$

$= 6x^2 - 7xy + 2y^2 + x - 2y - 12$

これは元の式と一致しません。

別の組み合わせを試します。

$a = 3$, $d = 2$, $b = -2$, $e = -1$, $c = 4$, $f = -3$

$(3x - 2y + 4)(2x - y - 3)$

これを展開して確認すると、

$6x^2 - 3xy - 9x - 4xy + 2y^2 + 6y + 8x - 4y - 12$

$= 6x^2 - 7xy + 2y^2 - x + 2y - 12$

これも元の式と一致しません。

係数を調整し、$(2x - y + a)(3x - 2y + b)$という形を考えます。

展開すると$6x^2 - 7xy + 2y^2 + (2b + 3a)x + (-a - 2b)y + ab$となります。

これと$6x^2 - 7xy + 2y^2 - 6x + 5y - 12$を比較すると、

$2b + 3a = -6$

$-a - 2b = 5$

$ab = -12$

上の2式から$a$と$b$を求めます。

$a = -5 - 2b$を$2b + 3a = -6$に代入すると、

$2b + 3(-5 - 2b) = -6$

$2b - 15 - 6b = -6$

$-4b = 9$

$b = -9/4$

$a = -5 - 2(-9/4) = -5 + 9/2 = -1/2$

この$a$と$b$に対して、$ab = (-1/2)(-9/4) = 9/8 \neq -12$なので、これは解ではありません。

式全体をもう一度見直すと、$6x^2 - 7xy + 2y^2 - 6x + 5y - 12$ は、

$(3x - 2y + c)(2x - y + d)$の形で因数分解できる可能性があります。

展開すると $6x^2 - 7xy + 2y^2 + (2c + 3d)x + (-c - 2d)y + cd$ となります。

したがって、

$2c + 3d = -6$

$-c - 2d = 5$

$cd = -12$

2番目の式より $c = -5 - 2d$。

これを最初の式に代入すると、$2(-5 - 2d) + 3d = -6$ より $-10 - 4d + 3d = -6$ なので、 $-d = 4$ より $d = -4$。

$c = -5 - 2(-4) = -5 + 8 = 3$。

すると $cd = 3(-4) = -12$ となり条件を満たします。

したがって $(3x - 2y + 3)(2x - y - 4)$ が因数分解の結果となります。

3. 最終的な答え

$(3x - 2y + 3)(2x - y - 4)$