水素原子のボーアモデルにおける電子の速度 $v$ を、以下の式を用いて求めます。 $v = \frac{e^2}{2\epsilon_0 h}$ ここで、各定数は以下の通りです。 $e = 1.602 \times 10^{-19} \text{ [C]}$ (素電荷) $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \text{ [F/m]}$ (真空の誘電率) $h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ [J s]}$ (プランク定数)

## 問題2：電子の速度の計算

1. 問題の内容

水素原子のボーアモデルにおける電子の速度 $v$ を、以下の式を用いて求めます。

$v = \frac{e^2}{2\epsilon_0 h}$

ここで、各定数は以下の通りです。

$e = 1.602 \times 10^{-19} \text{ [C]}$ (素電荷)

$\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \text{ [F/m]}$ (真空の誘電率)

$h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ [J s]}$ (プランク定数)

2. 解き方の手順

与えられた式に、各定数の値を代入して計算します。

$v = \frac{(1.602 \times 10^{-19})^2}{2 \times (8.854 \times 10^{-12}) \times (6.626 \times 10^{-34})}$

3. 最終的な答え

$v \approx 2.188 \times 10^6 \text{ m/s}$

## 問題3：ボーア半径の導出

1. 問題の内容

ボーア半径 $r_B$ は次の式で与えられます。

$r_B = \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2}$

クーロン力と遠心力の関係 $F = \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r^2} = m_e \frac{v^2}{r}$ を用いて、電子速度 $v$ を表す式を導き、その式を $r_B$ の式に代入して、$r_B$ の別の表現を導きます。

2. 解き方の手順

まず、クーロン力と遠心力の関係から $v$ について解きます。

$\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r^2} = m_e \frac{v^2}{r}$

$v^2 = \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r m_e}$

$v = \sqrt{\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r m_e}}$

次に、$r_B = \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2}$ の式を導出します。

問題文に与えられた$r_B$の式は正しいようです。クーロン力と遠心力の関係から導出した$v$を代入し、$r$が$r_B$となる条件を求めるという手順が想定されていると思われます。

クーロン力と遠心力が釣り合うとき$r=r_B$であるので、

$r_B = \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2}$

3. 最終的な答え

$r_B = \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2}$

## 問題4：電子のポテンシャルエネルギー

1. 問題の内容

ボーアモデルにおける電子のポテンシャルエネルギー $E_p$ は次の式で与えられます。

$E_p = -\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r_B}$

ボーア半径 $r_B$ の値を代入し、ポテンシャルエネルギー $E_p$ (J) を求め、さらに電子ボルト (eV) 単位に変換します。

2. 解き方の手順

まず、$r_B = \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2}$ を $E_p$ の式に代入します。

$E_p = -\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2}} = -\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{\pi m_e e^2}{\epsilon_0 h^2} = -\frac{m_e e^4}{4\epsilon_0^2 h^2}$

次に、各定数の値を代入して計算します。(電子の質量 $m_e = 9.109 \times 10^{-31} \text{ kg}$ を使う必要があります。)

$E_p = -\frac{(9.109 \times 10^{-31}) \times (1.602 \times 10^{-19})^4}{4 \times (8.854 \times 10^{-12})^2 \times (6.626 \times 10^{-34})^2}$

$E_p \approx -4.359 \times 10^{-18} \text{ J}$

次に、電子ボルト (eV) 単位に変換します。 $1 \text{ eV} = 1.602 \times 10^{-19} \text{ J}$ なので、

$E_p \approx \frac{-4.359 \times 10^{-18}}{1.602 \times 10^{-19}} \text{ eV} \approx -27.2 \text{ eV}$

3. 最終的な答え

$E_p \approx -4.359 \times 10^{-18} \text{ J}$

$E_p \approx -27.2 \text{ eV}$