ボーアモデルにおける電子のポテンシャルエネルギー $E_p$ を求める問題です。与えられた式 $E_p = -e^2 / (4 \pi \epsilon_0 r_B)$ にボーア半径 $r_B$ の値を代入して $E_p$ をジュール (J) で求め、さらに電子ボルト (eV) 単位に変換します。 ここで、$e$ は電気素量、$\epsilon_0$ は真空の誘電率です。

1. 問題の内容

ボーアモデルにおける電子のポテンシャルエネルギー $E_p$ を求める問題です。与えられた式 $E_p = -e^2 / (4 \pi \epsilon_0 r_B)$ にボーア半径 $r_B$ の値を代入して $E_p$ をジュール (J) で求め、さらに電子ボルト (eV) 単位に変換します。

ここで、$e$ は電気素量、$\epsilon_0$ は真空の誘電率です。

2. 解き方の手順

(1) 定数の値を調べます。

* 電気素量: $e = 1.602 \times 10^{-19} \text{ C}$

* 真空の誘電率: $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \text{ F/m}$

* ボーア半径: $r_B = 0.529 \times 10^{-10} \text{ m}$

(2) 上記の値をポテンシャルエネルギーの式に代入します。

$E_p = - \frac{(1.602 \times 10^{-19})^2}{4 \pi (8.854 \times 10^{-12}) (0.529 \times 10^{-10})}$

(3) 計算を実行します。

$E_p = - \frac{2.566 \times 10^{-38}}{1.176 \times 10^{-20}} \text{ J}$

$E_p = -2.182 \times 10^{-18} \text{ J}$

(4) ジュールから電子ボルトへの変換を行います。$1 \text{ eV} = 1.602 \times 10^{-19} \text{ J}$ なので、

$E_p (\text{eV}) = \frac{E_p (\text{J})}{1.602 \times 10^{-19}}$

$E_p (\text{eV}) = \frac{-2.182 \times 10^{-18}}{1.602 \times 10^{-19}}$

$E_p (\text{eV}) = -13.62 \text{ eV}$

3. 最終的な答え

電子のポテンシャルエネルギーは、ジュールで $-2.182 \times 10^{-18} \text{ J}$ であり、電子ボルトで $-13.62 \text{ eV}$ です。