5個の数字0, 1, 2, 3, 4の中から異なる4個を並べて4桁の整数を作る。 (1) 4桁の整数は何個作れるか。 (2) 4桁の奇数は何個作れるか。 (3) 4桁の偶数は何個作れるか。

1. 問題の内容

5個の数字0, 1, 2, 3, 4の中から異なる4個を並べて4桁の整数を作る。

(1) 4桁の整数は何個作れるか。

(2) 4桁の奇数は何個作れるか。

(3) 4桁の偶数は何個作れるか。

2. 解き方の手順

(1) 4桁の整数

千の位には0以外の4つの数字(1, 2, 3, 4)のいずれかが入る。

千の位の選び方は4通り。

残りの3つの位には、残った4つの数字から3つを選んで並べるので、その選び方は $_4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$ 通り。

したがって、4桁の整数の個数は $4 \times 24 = 96$ 個。

(2) 4桁の奇数

一の位が奇数である必要がある。奇数は1と3の2つ。

一の位が1または3の場合を考える。

(i) 一の位が1または3のとき：

一の位の選び方は2通り。

千の位には0と一の位で使った数字以外の3つの数字のいずれかが入る。

千の位の選び方は3通り。

残りの2つの位には、残った3つの数字から2つを選んで並べるので、その選び方は $_3P_2 = 3 \times 2 = 6$ 通り。

したがって、奇数の個数は $2 \times 3 \times 6 = 36$ 個。

(3) 4桁の偶数

全4桁の整数の個数から4桁の奇数の個数を引けば良い。

$96 - 36 = 60$ 個

別解

(3) 4桁の偶数

一の位が偶数である必要がある。偶数は0, 2, 4の3つ。

一の位が0, 2, 4の場合を考える。

(i) 一の位が0のとき：

一の位の選び方は1通り。

千の位には0以外の4つの数字(1, 2, 3, 4)のいずれかが入る。

千の位の選び方は4通り。

残りの2つの位には、残った3つの数字から2つを選んで並べるので、その選び方は $_3P_2 = 3 \times 2 = 6$ 通り。

したがって、この場合は $1 \times 4 \times 6 = 24$ 個。

(ii) 一の位が2または4のとき：

一の位の選び方は2通り。

千の位には0と一の位で使った数字以外の3つの数字のいずれかが入る。

千の位の選び方は3通り。

残りの2つの位には、残った3つの数字から2つを選んで並べるので、その選び方は $_3P_2 = 3 \times 2 = 6$ 通り。

したがって、この場合は $2 \times 3 \times 6 = 36$ 個。

偶数の個数は $24 + 36 = 60$ 個。

3. 最終的な答え

(1) 96個

(2) 36個

(3) 60個