$x, y$ が2つの不等式 $x^2 + y^2 \le 4$ と $y \ge 0$ を満たすとき、$2x + y$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

$x, y$ が2つの不等式 $x^2 + y^2 \le 4$ と $y \ge 0$ を満たすとき、$2x + y$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式が表す領域を考える。

$x^2 + y^2 \le 4$ は、原点を中心とする半径2の円の内部（境界を含む）を表す。

$y \ge 0$ は、$x$軸より上側の領域（$x$軸を含む）を表す。

したがって、これらの不等式を同時に満たす領域は、半径2の半円の内部（境界を含む）となる。

次に、$2x + y = k$ とおく。これは傾きが-2の直線を表す。

$y = -2x + k$ と変形すると、この直線が半円の領域と共有点を持つような $k$ の最大値と最小値を求める問題となる。

半円は $x^2 + y^2 = 4$ かつ $y \ge 0$。

$y = -2x + k$ を $x^2 + y^2 = 4$ に代入すると、

$x^2 + (-2x + k)^2 = 4$

$x^2 + 4x^2 - 4kx + k^2 = 4$

$5x^2 - 4kx + k^2 - 4 = 0$

この$x$に関する二次方程式が実数解を持つ条件を考える。判別式を$D$とすると、

$D/4 = (-2k)^2 - 5(k^2 - 4) = 4k^2 - 5k^2 + 20 = -k^2 + 20 \ge 0$

$k^2 \le 20$

$-\sqrt{20} \le k \le \sqrt{20}$

$-2\sqrt{5} \le k \le 2\sqrt{5}$

$k$が最大値をとるとき、半円と直線が接する。このとき、$y \ge 0$なので、$y = -2x + 2\sqrt{5}$。

$k$が最小値をとるとき、$x = -2, y=0$ で、半円と直線が交わる。このとき、$k = 2x + y = 2(-2) + 0 = -4$。

しかし、$y \ge 0$の条件があるので、$k$の最小値は $x = -2, y = 0$を通るとき、$k= -4$となる。

$y = 0$ のとき、$2x + y = 2x = k$ なので、$x = 2$ のとき、$k = 4$。$x = -2$ のとき、$k = -4$。

$k$の最大値は、$x = \frac{4\sqrt{5}}{5}$, $y = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ のとき、$2x + y = \frac{8\sqrt{5}}{5} + \frac{2\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$。

$x^2 + y^2 = 4, y=0$のとき、$x = \pm 2$. $x=2$のとき、$k = 2(2) + 0 = 4$.

$x=-2$のとき、$k = 2(-2) + 0 = -4$.

$x=0, y=2$のとき、$k=2$.

$x = \frac{4\sqrt{5}}{5}$, $y=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ のとき、$2x + y = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} \approx 4.47$.

$x = 2, y=0$のとき最大値、$k=4$.

$x=-2, y=0$のとき最小値、$k=-4$.

3. 最終的な答え

最大値: $2\sqrt{5}$

最小値: $-4$