$x = \sqrt{2} - 1$ のとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $x + \frac{1}{x}$ (2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (3) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ (4) $x^4 + \frac{1}{x^4}$

1. 問題の内容

$x = \sqrt{2} - 1$ のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $x + \frac{1}{x}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(3) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

(4) $x^4 + \frac{1}{x^4}$

2. 解き方の手順

(1) $x + \frac{1}{x}$ を計算する。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1$

したがって、

$x + \frac{1}{x} = (\sqrt{2}-1) + (\sqrt{2}+1) = 2\sqrt{2}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ を計算する。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ より、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = (2\sqrt{2})^2 - 2 = 8 - 2 = 6$

(3) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ を計算する。

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3x\frac{1}{x}(x + \frac{1}{x}) = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x})$

$= (2\sqrt{2})^3 - 3(2\sqrt{2}) = 8 \cdot 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 16\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$

(4) $x^4 + \frac{1}{x^4}$ を計算する。

$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = x^4 + 2 + \frac{1}{x^4}$ より、

$x^4 + \frac{1}{x^4} = (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 - 2 = 6^2 - 2 = 36 - 2 = 34$

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{2}$

(2) $6$

(3) $10\sqrt{2}$

(4) $34$