与えられた式 $\sqrt{x^2 + \sqrt{x^2 - 4x + 4}}$ を、以下の3つの場合について簡単にせよ。 (1) $x < 0$ (2) $0 \le x < 2$ (3) $2 \le x$

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{x^2 + \sqrt{x^2 - 4x + 4}}$ を、以下の3つの場合について簡単にせよ。

(1) $x < 0$

(2) $0 \le x < 2$

(3) $2 \le x$

2. 解き方の手順

まず、内側の根号の中身を因数分解します。

$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$

したがって、$\sqrt{x^2 - 4x + 4} = \sqrt{(x - 2)^2} = |x - 2|$ となります。

次に、絶対値 $|x - 2|$ を場合分けして考えます。

(1) $x < 0$ の場合：

$x < 0$ より $x - 2 < 0$ なので、$|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$ となります。

したがって、$\sqrt{x^2 + \sqrt{x^2 - 4x + 4}} = \sqrt{x^2 + |x - 2|} = \sqrt{x^2 + 2 - x} = \sqrt{x^2 - x + 2}$ となります。

(2) $0 \le x < 2$ の場合：

$0 \le x < 2$ より $x - 2 < 0$ なので、$|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$ となります。

したがって、$\sqrt{x^2 + \sqrt{x^2 - 4x + 4}} = \sqrt{x^2 + |x - 2|} = \sqrt{x^2 + 2 - x} = \sqrt{x^2 - x + 2}$ となります。

(3) $2 \le x$ の場合：

$2 \le x$ より $x - 2 \ge 0$ なので、$|x - 2| = x - 2$ となります。

したがって、$\sqrt{x^2 + \sqrt{x^2 - 4x + 4}} = \sqrt{x^2 + |x - 2|} = \sqrt{x^2 + x - 2}$ となります。

さらに、根号の中身を因数分解すると、$x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$ となります。

よって、$\sqrt{x^2 + x - 2} = \sqrt{(x + 2)(x - 1)}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x < 0$ のとき: $\sqrt{x^2 - x + 2}$

(2) $0 \le x < 2$ のとき: $\sqrt{x^2 - x + 2}$

(3) $2 \le x$ のとき: $\sqrt{x^2 + x - 2} = \sqrt{(x + 2)(x - 1)}$