ベクトル $\vec{a} = (3, 1+4t, -2+4t)$ と $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$ のなす角が $\frac{\pi}{4}$ であるとき、$t$ の値を求め、さらに $\vec{a}$ と $\vec{e_2} = (0, 0, 1)$ の両方に垂直な長さ2のベクトルを求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (3, 1+4t, -2+4t)$ と $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$ のなす角が $\frac{\pi}{4}$ であるとき、$t$ の値を求め、さらに $\vec{a}$ と $\vec{e_2} = (0, 0, 1)$ の両方に垂直な長さ2のベクトルを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a}$ と $\vec{e_1}$ のなす角が $\frac{\pi}{4}$ であることから、$t$ を求める。

ベクトルのなす角の公式より、

$\cos{\frac{\pi}{4}} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{e_1}}{|\vec{a}| |\vec{e_1}|}$

$\vec{a} \cdot \vec{e_1} = (3, 1+4t, -2+4t) \cdot (1, 0, 0) = 3$

$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (1+4t)^2 + (-2+4t)^2} = \sqrt{9 + 1 + 8t + 16t^2 + 4 - 16t + 16t^2} = \sqrt{14 + 32t^2}$

$|\vec{e_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$

$\cos{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ であるから、

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{14 + 32t^2}}$

$\sqrt{14 + 32t^2} = 3\sqrt{2}$

両辺を2乗して

$14 + 32t^2 = 18$

$32t^2 = 4$

$t^2 = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$

$t = \pm \frac{1}{\sqrt{8}} = \pm \frac{1}{2\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{4}$

$t$ は正の実数なので $t = \frac{\sqrt{2}}{4}$

(2) $\vec{a}$ と $\vec{e_2}$ に垂直なベクトルを $\vec{v} = (x, y, z)$ とする。

$\vec{a} \cdot \vec{v} = 0$ かつ $\vec{e_2} \cdot \vec{v} = 0$ であるから、

$3x + (1+4t)y + (-2+4t)z = 0$

$0x + 0y + 1z = 0$

$z = 0$ であり、$t = \frac{\sqrt{2}}{4}$ を代入して

$3x + (1 + \sqrt{2})y = 0$

$3x = -(1 + \sqrt{2})y$

$x = -\frac{1 + \sqrt{2}}{3}y$

$\vec{v} = (-\frac{1 + \sqrt{2}}{3}y, y, 0)$

長さが2であるから $|\vec{v}| = 2$

$\sqrt{(-\frac{1 + \sqrt{2}}{3}y)^2 + y^2 + 0^2} = 2$

$\sqrt{\frac{1 + 2\sqrt{2} + 2}{9}y^2 + y^2} = 2$

$\sqrt{\frac{3 + 2\sqrt{2}}{9}y^2 + \frac{9}{9}y^2} = 2$

$\sqrt{\frac{12 + 2\sqrt{2}}{9}y^2} = 2$

$\frac{\sqrt{12 + 2\sqrt{2}}}{3}|y| = 2$

$|y| = \frac{6}{\sqrt{12 + 2\sqrt{2}}} = \frac{6\sqrt{12 - 2\sqrt{2}}}{\sqrt{144 - 8}} = \frac{6\sqrt{12 - 2\sqrt{2}}}{\sqrt{136}} = \frac{6\sqrt{12 - 2\sqrt{2}}}{2\sqrt{34}} = \frac{3\sqrt{12 - 2\sqrt{2}}}{\sqrt{34}}$

よって $y = \pm \frac{3\sqrt{12 - 2\sqrt{2}}}{\sqrt{34}}$

$x = -\frac{1 + \sqrt{2}}{3}y = \mp \frac{1 + \sqrt{2}}{3} \frac{3\sqrt{12 - 2\sqrt{2}}}{\sqrt{34}} = \mp \frac{(1+\sqrt{2})\sqrt{12 - 2\sqrt{2}}}{\sqrt{34}}$

$\vec{v} = (\mp \frac{(1+\sqrt{2})\sqrt{12 - 2\sqrt{2}}}{\sqrt{34}}, \pm \frac{3\sqrt{12 - 2\sqrt{2}}}{\sqrt{34}}, 0)$

$\vec{v} = (\mp \sqrt{\frac{(1+\sqrt{2})^2(12 - 2\sqrt{2})}{34}}, \pm \sqrt{\frac{9(12 - 2\sqrt{2})}{34}}, 0)$

$\vec{v} = (\mp \sqrt{\frac{(1 + 2\sqrt{2} + 2)(12 - 2\sqrt{2})}{34}}, \pm \sqrt{\frac{108 - 18\sqrt{2}}{34}}, 0)$

$\vec{v} = (\mp \sqrt{\frac{(3 + 2\sqrt{2})(12 - 2\sqrt{2})}{34}}, \pm \sqrt{\frac{54 - 9\sqrt{2}}{17}}, 0)$

$\vec{v} = (\mp \sqrt{\frac{36 - 6\sqrt{2} + 24\sqrt{2} - 8}{34}}, \pm \sqrt{\frac{54 - 9\sqrt{2}}{17}}, 0)$

$\vec{v} = (\mp \sqrt{\frac{28 + 18\sqrt{2}}{34}}, \pm \sqrt{\frac{54 - 9\sqrt{2}}{17}}, 0)$

$\vec{v} = (\mp \sqrt{\frac{14 + 9\sqrt{2}}{17}}, \pm \sqrt{\frac{54 - 9\sqrt{2}}{17}}, 0)$

上記の過程で誤りを発見。$t = \frac{\sqrt{2}}{4}$のときの$\vec{a}$は$(3, 1+\frac{\sqrt{2}}{4}, -2+\frac{\sqrt{2}}{4})$となる。

$\vec{a}$に垂直なベクトルの条件より、$3x+(1+\frac{\sqrt{2}}{4})y + (-2+\frac{\sqrt{2}}{4})z = 0$、かつ$z = 0$より、$3x+(1+\frac{\sqrt{2}}{4})y = 0$、$x = -\frac{1}{3}(1+\frac{\sqrt{2}}{4})y$。

よって$\vec{v} = (-\frac{1}{3}(1+\frac{\sqrt{2}}{4})y, y, 0)$。

長さが2なので$\frac{1}{9}(1+\frac{\sqrt{2}}{4})^2y^2 + y^2 = 4$、$\frac{1}{9}(1+\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{8})y^2 + y^2 = 4$、$(\frac{1}{9}(\frac{9}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1)y^2 = 4$、$(\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{2}}{18} + 1)y^2 = 4$、$(\frac{9}{8} + \frac{\sqrt{2}}{18})y^2 = 4$。$y^2 = \frac{4}{\frac{9}{8} + \frac{\sqrt{2}}{18}} = \frac{4}{\frac{81+4\sqrt{2}}{72}} = \frac{288}{81+4\sqrt{2}} = \frac{288(81-4\sqrt{2})}{6561-32} = \frac{288(81-4\sqrt{2})}{6529}$。

別の方針として、$e_1 = (1, 0, 0), e_2 = (0, 0, 1)$に垂直なベクトルは$(0, 1, 0)$の定数倍である。長さが2である必要があるため、求めるベクトルは$(0, 2, 0)$もしくは$(0, -2, 0)$である。

$a = (3, 1 + \sqrt{2}, -2 + \frac{\sqrt{2}}{4})$

ここで$(0, 2, 0)$とaの内積をとると$2*(1+\frac{\sqrt{2}}{4}) = 2+\frac{\sqrt{2}}{2}\neq 0$なのでaに垂直ではない。

$\vec{a}=(3, 1+4t, -2+4t)$と$\vec{e_1}$の内積は$\vec{a}\cdot\vec{e_1}=3*1+(1+4t)*0+(-2+4t)*0=3$であり、$\left|\vec{a}\right|=\sqrt{3^2+(1+4t)^2+(-2+4t)^2}=\sqrt{9+(1+8t+16t^2)+(4-16t+16t^2)}=\sqrt{14-8t+32t^2}$、$\left|\vec{e_1}\right|=1$である。$\cos(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}$より$\frac{3}{\sqrt{14-8t+32t^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}、\sqrt{14-8t+32t^2}=3\sqrt{2}=>\quad14-8t+32t^2=18=>32t^2-8t-4=0=>8t^2-2t-1=0$

$t=\frac{2\pm\sqrt{4+32}}{16}=\frac{2\pm6}{16}$、$t=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$または$t=\frac{-4}{16}=-\frac{1}{4}$、$t$は正より$t = \frac{1}{2}$。

$\vec{a}=(3, 3, 0)$、これに垂直なベクトル$\vec{v}=(x,y,z)$は$3x+3y=0=>x=-y$、$\vec{v}=(x, -x, z)$が$\vec{e_2}$と垂直なのでz=

0. $|\vec{v}|=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2x^2}=\sqrt{2}\left|x\right|=2$, $\left|x\right|=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$, $x=\pm\sqrt{2}$

よって$(\sqrt{2}, -\sqrt{2}, 0), (-\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0)$

3. 最終的な答え

$t = \frac{1}{2}$

$(\sqrt{2}, -\sqrt{2}, 0)$ または $(-\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0)$