$x = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ および $y = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ のとき、以下の値を求めます。 (1) $x+y$ および $xy$ (2) $x^2 + y^2$

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ および $y = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ のとき、以下の値を求めます。

(1) $x+y$ および $xy$

(2) $x^2 + y^2$

2. 解き方の手順

(1) $x$ と $y$ をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{7 - 5} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}$

$y = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{7 - 5} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$

次に $x+y$ を計算します。

$x+y = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5} + \sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}$

次に $xy$ を計算します。

$xy = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} = \frac{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2}{4} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(2) $x^2 + y^2$ を計算します。

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

$x^2 + y^2 = (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 7 - 1 = 6$

3. 最終的な答え

(1)

$x+y = \sqrt{7}$

$xy = \frac{1}{2}$

(2)

$x^2 + y^2 = 6$