問題は、与えられた式 $(2x+1)(x-2)(7x+3)(x-4)+24$ を展開・整理し、因数分解することです。

1. 問題の内容

問題は、与えられた式 $(2x+1)(x-2)(7x+3)(x-4)+24$ を展開・整理し、因数分解することです。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を並び替えます。

$((2x+1)(x-2))((7x+3)(x-4))+24$

次に、それぞれを展開します。

$(2x^2 -4x +x -2)(7x^2 -28x +3x -12)+24$

$(2x^2 -3x -2)(7x^2 -25x -12)+24$

ここで、$t = x^2$ とおいて整理するのは難しいので、違う方法を探します。

$(2x+1)(x-2)(7x+3)(x-4)+24$を、定数項が打ち消し合うように並び替えます。

$((2x+1)(7x+3))((x-2)(x-4)) + 24$

それぞれを展開します。

$(14x^2 + 6x + 7x + 3)(x^2 - 4x - 2x + 8) + 24$

$(14x^2 + 13x + 3)(x^2 - 6x + 8) + 24$

展開すると、

$14x^4 - 84x^3 + 112x^2 + 13x^3 - 78x^2 + 104x + 3x^2 - 18x + 24 + 24$

$14x^4 - 71x^3 + 37x^2 + 86x + 48$

この形では因数分解できそうにありません。

別の方法を試します。

$((2x+1)(x-4))((x-2)(7x+3)) + 24$

$(2x^2 -8x + x - 4)(7x^2 + 3x - 14x -6) + 24$

$(2x^2 -7x - 4)(7x^2 - 11x -6) + 24$

$(14x^4 - 22x^3 - 12x^2 - 49x^3 + 77x^2 + 42x - 28x^2 + 44x + 24) + 24$

$14x^4 -71x^3 + 37x^2 + 86x + 24 + 24$

$14x^4 -71x^3 + 37x^2 + 86x + 48$

$((2x+1)(x-2))((7x+3)(x-4)) + 24$

$(2x^2 -3x -2)(7x^2 -25x -12) + 24$

$14x^4 -50x^3 -24x^2 -21x^3 + 75x^2 + 36x - 14x^2 + 50x + 24 + 24$

$14x^4 -71x^3 + 37x^2 + 86x + 48$

もし $x=1$ ならば、$14-71+37+86+48 = 114 \ne 0$

もし $x=2$ ならば、$14(16) -71(8) + 37(4) + 86(2) + 48 = 224 - 568 + 148 + 172 + 48 = 224 - 568 + 368 = 24$

しかしこれは関係ありません

与えられた式に戻って考えると、

$(2x+1)(x-2)(7x+3)(x-4)+24$

$x=0$ のとき $(1)(-2)(3)(-4)+24 = 24+24=48$

$x=1$ のとき $(3)(-1)(10)(-3)+24 = 90 + 24 = 114$

$x=3$ のとき $(7)(1)(24)(-1)+24 = -168+24 = -144$

正解は、$((x-1)(ax^3+bx^2+cx+d))$ の形になるはずなので、試行錯誤を繰り返しても見つけられません。

3. 最終的な答え

$14x^4 -71x^3 + 37x^2 + 86x + 48$

因数分解できません。