与えられた式 $(x+1)(x-2)(x+3)(x-4) + 24$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+1)(x-2)(x+3)(x-4) + 24$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開しやすいように並び替えます。

$(x+1)(x-2)(x+3)(x-4) + 24 = (x+1)(x+3)(x-2)(x-4) + 24$

次に、それぞれの括弧を展開します。

$(x+1)(x+3) = x^2 + 4x + 3$

$(x-2)(x-4) = x^2 - 6x + 8$

したがって、与えられた式は

$(x^2 + 4x + 3)(x^2 - 6x + 8) + 24$

となります。

ここで、$A = x^2$ とおいて、式を整理します。

$(A + 4x + 3)(A - 6x + 8) + 24$

$= A^2 - 6xA + 8A + 4xA - 24x^2 + 32x + 3A - 18x + 24 + 24$

$= A^2 - 2xA + 11A - 24x^2 + 14x + 48$

ここで、$A = x^2$ を代入します。

$(x^2)^2 - 2x(x^2) + 11x^2 - 24x^2 + 14x + 48$

$= x^4 - 2x^3 + 11x^2 - 24x^2 + 14x + 48$

$= x^4 - 2x^3 - 13x^2 + 14x + 48$

ここで、$x^2 + 4x + 3$ と $x^2 - 6x + 8$ の積を計算する際、$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$の形を利用して、共通の形を作り出すことを目指します。

$(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)+24 = \{(x+1)(x+3)\}\{(x-2)(x-4)\}+24$

$= (x^2+4x+3)(x^2-6x+8) + 24$

ここで、$t = x^2 - x$ とおくと、 $4x = 5x - x$ なので、

$(x^2-x+5x+3)(x^2-x-5x+8) + 24$

$= (t+5x+3)(t-5x+8) + 24$

$= t^2 + (8+3)t + (8*3) + (5x)(t-t) -25x^2 + (8-3)(5x) + 24$

$= t^2 + 11t - 25x^2+25x + 24 +24$

$= t^2 + 11t - 25x^2 + 25x + 48$

$(x+1)(x-4) = x^2 -3x -4$

$(x-2)(x+3) = x^2 + x - 6$

$(x+1)(x-2)(x+3)(x-4) + 24 = (x^2 -3x -4)(x^2+x-6) + 24$

ここで $u=x^2 - x$ とすると $-3x=-2x-x$ だから $x^2-3x-4 = x^2 - x -2x -4 = u - 2x - 4$, そして $x^2 + x - 6 = x^2 - x + 2x - 6 = u+2x-6$

$(u-2x-4)(u+2x-6) + 24 = u^2 + (2x-6)u + (-2x-4)u + (-2x-4)(2x-6) + 24$

$= u^2 + (-6-4)u + (u)(-4x + 12-8x-16) + 24 = u^2 - 10u -4x^2 +12 x - 8 x + 24+24 = u^2 - 10 u - 4x^2 + 4x + 48$.

計算が複雑化してしまいました。

$(x^2 + 4x + 3)(x^2 - 6x + 8) + 24 = x^4 -6x^3+8x^2+4x^3-24x^2+32x+3x^2-18x+24+24$

$=x^4 -2x^3 -13x^2 +14x + 48$

$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$　としたとき、$ac=-13$, $ad+bc=14$ , $bd=48$ になる必要がある

もし、$(x^2 + px + q)(x^2 + rx + s)$　と因数分解できたとする。 $x=0$ のとき　$qs = 48$, 整数で考えると $q = 6$, $s = 8$ または $q = 4, s=12$などがある。

実際に因数分解を試してみる。$x = -3$ を代入すると $(-3)^4 -2(-3)^3 -13(-3)^2 +14(-3) + 48 = 81+54 -117-42+48 = 24$。

$x= -2$ を代入すると, 16 +16 -52-28 + 48 = 0。なので $(x+2)$ を因数にもつ。

$x^4 - 2x^3 - 13x^2 + 14x + 48$を$(x+2)$で割ると $x^3 -4x^2-5x+24$

$x=3$ を代入すると, $27 - 36-15+24 = 0$ よって$(x-3)$を因数にもつ.

$(x^3 - 4x^2 - 5x + 8) = (x-3)(x^2-x-8)$.

したがって, $(x+2)(x-3)(x^2 - x - 8) = (x^2-x-6)(x^2 - x - 8)$

ここで $s = x^2 - x$.

$(s-6)(s-8)+24= s^2-14s+48+24=s^2-14s+72$

$(x^2-x)^2-14(x^2-x)+72 = 48$

$(x^2-x)^2 = -14x + 24$

$x = -1$ のとき 1+ 14+72 となり計算があわない。

$x= 0$, のとき, 72 となり, 計算があわない.

与えられた式の形から、$((x+1)(x-4)+a)((x-2)(x+3)+b)+0$ の形を考え、

$(x^2-3x-4+a)(x^2+x-6+b)+24$を考える.

$t=(x^2 -x - 5)$.

$(t-2x +1)(t+2x -1) = t^2 + t(2x - 1 -2x + 1) + (-2x + 1)(2x -1)$

$(x+2)(x-3) =x^2 -x -6$であるから, $s=x^2-x$.

$(s-6+u)(s+8+w)=(s^2 + (-x-7)(x+7)+50) s$

$(x+1)(x-2)(x+3)(x-4) + 24 = (x^2 - x -6 -y )(x^2 +x -(2 -x) -3)+24$

最後に、$x^4 - 2x^3 - 13x^2 + 14x + 48 = (x^2 - x -8)(x^2 - x - 6)$

$=(x^2 - x)^2- 14x + 48$

ここで、$s = x^2 - x$　とおくと

$(s - 8)(s + c) = x^3$

$x=-2$ のとき $\s^ = 6$ $(-)$ となる.　$x = 3$のとき、$7$となり計算ができない.

$(x+2)(x-3)(x^2-x-8)$

最後に展開すると $(x+2)(x^3 -4x^2 -5x+24)$

$(x^4 - 4x^3 - 5x^2+24x +2x^3-8x^2-10x+48= x^4 - 2x - 13x+2$

3. 最終的な答え

$(x^2 - x - 8)(x^2 - x - 6)$