次の特徴を持つ分数関数の方程式を求めます。 1. 漸近線が $x=2$, $y=-3$ で原点を通る。

1. 問題の内容

次の特徴を持つ分数関数の方程式を求めます。

1. 漸近線が $x=2$, $y=-3$ で原点を通る。

2. $y=\frac{2}{x}$ を $x$ 方向に2, $y$ 方向に3だけ平行移動したもの。

2. 解き方の手順

1. の場合：

分数関数の一般形は $y = \frac{k}{x-p} + q$ で表され、漸近線は $x=p$, $y=q$ となります。

問題より、漸近線が $x=2$, $y=-3$ なので、$p=2$, $q=-3$ となります。よって、関数は $y = \frac{k}{x-2} - 3$ と表せます。

この関数が原点(0,0)を通るので、$x=0$, $y=0$ を代入して $k$ を求めます。

$0 = \frac{k}{0-2} - 3$

$0 = \frac{k}{-2} - 3$

$\frac{k}{2} = -3$

$k = -6$

よって、求める関数は $y = \frac{-6}{x-2} - 3$ となります。

2. の場合：

$y = \frac{2}{x}$ を $x$ 方向に2, $y$ 方向に3だけ平行移動すると、$y - 3 = \frac{2}{x-2}$ となります。

これを $y$ について解くと、$y = \frac{2}{x-2} + 3$ となります。

3. 最終的な答え

1. $y = \frac{-6}{x-2} - 3$

2. $y = \frac{2}{x-2} + 3$