与えられた二重和を計算します。 $ \sum_{m=1}^{n} \left( \sum_{k=1}^{m} k \right) $

1. 問題の内容

与えられた二重和を計算します。

$\sum_{m=1}^{n} \left( \sum_{k=1}^{m} k \right)$

2. 解き方の手順

まず、内側の和を計算します。

$\sum_{k=1}^{m} k = \frac{m(m+1)}{2}$

次に、外側の和を計算します。

$\sum_{m=1}^{n} \frac{m(m+1)}{2} = \frac{1}{2} \sum_{m=1}^{n} (m^2 + m)$

$= \frac{1}{2} \left( \sum_{m=1}^{n} m^2 + \sum_{m=1}^{n} m \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)}{6} \right)$

$= \frac{1}{12} n(n+1) (2n+1+3)$

$= \frac{1}{12} n(n+1) (2n+4)$

$= \frac{1}{12} n(n+1) \cdot 2(n+2)$

$= \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$