濃度 $x$% の食塩水 200g がある。操作 (A) 水を 110g 加える、または操作 (B) 食塩を 7g 加える を行うことで、食塩水の濃度が 4% 以上 6% 以下になるような $x$ の値を求める問題。具体的には、 (1) 操作 (A) を 1 回行った後の食塩水に含まれる食塩の重さ (g) を $x$ を用いて表し、そのときの食塩水の濃度 (%) を $x$ を用いて表す。 (2) 操作 (A) または (B) のいずれかの操作を 1 回行うことで、食塩水の濃度が 4% 以上 6% 以下になるような $x$ の範囲を小数で求める。 (3) 操作 (A) または (B) のいずれの操作についても、1 回行うことでは食塩水の濃度が 4% 以上 6% 以下にならない。そこで、(A) または (B) のいずれかの操作をもう 1 回行うことで、食塩水の濃度が 4% 以上 6% 以下になるような $x$ の範囲を小数で求める。ただし、1 回目と 2 回目で異なる操作を行ってもよい。

1. 問題の内容

濃度 $x$% の食塩水 200g がある。操作 (A) 水を 110g 加える、または操作 (B) 食塩を 7g 加える を行うことで、食塩水の濃度が 4% 以上 6% 以下になるような $x$ の値を求める問題。具体的には、

(1) 操作 (A) を 1 回行った後の食塩水に含まれる食塩の重さ (g) を $x$ を用いて表し、そのときの食塩水の濃度 (%) を $x$ を用いて表す。

(2) 操作 (A) または (B) のいずれかの操作を 1 回行うことで、食塩水の濃度が 4% 以上 6% 以下になるような $x$ の範囲を小数で求める。

(3) 操作 (A) または (B) のいずれの操作についても、1 回行うことでは食塩水の濃度が 4% 以上 6% 以下にならない。そこで、(A) または (B) のいずれかの操作をもう 1 回行うことで、食塩水の濃度が 4% 以上 6% 以下になるような $x$ の範囲を小数で求める。ただし、1 回目と 2 回目で異なる操作を行ってもよい。

2. 解き方の手順

(1)

最初の食塩水 200g に含まれる食塩の重さは $200 \times \frac{x}{100} = 2x$ g。

操作 (A) で水を 110g 加えると、食塩水の重さは $200 + 110 = 310$ g になる。

食塩の重さは変わらず $2x$ g。

したがって、濃度は $\frac{2x}{310} \times 100 = \frac{200x}{310} = \frac{20x}{31}$ %。

(2)

(A) の操作を行った場合：

濃度は $\frac{20x}{31}$ %。これが 4% 以上 6% 以下になるので、

$4 \le \frac{20x}{31} \le 6$

$4 \times 31 \le 20x \le 6 \times 31$

$124 \le 20x \le 186$

$6.2 \le x \le 9.3$

(B) の操作を行った場合：

食塩水の重さは $200 + 7 = 207$ g になる。

食塩の重さは $2x + 7$ g になる。

濃度は $\frac{2x+7}{207} \times 100$ %。これが 4% 以上 6% 以下になるので、

$4 \le \frac{200x+700}{207} \le 6$

$4 \times 207 \le 200x + 700 \le 6 \times 207$

$828 \le 200x + 700 \le 1242$

$128 \le 200x \le 542$

$0.64 \le x \le 2.71$

したがって、 $0.64 \le x \le 2.71$ または $6.2 \le x \le 9.3$。

(3)

まず、(A) を行ってから (B) を行う場合を考える。

(A) の操作後、食塩水の重さは 310g、食塩の重さは 2x g。

(B) の操作後、食塩水の重さは 317g、食塩の重さは 2x+7 g。

濃度は $\frac{2x+7}{317} \times 100$ %。これが 4% 以上 6% 以下になるので、

$4 \le \frac{200x+700}{317} \le 6$

$4 \times 317 \le 200x + 700 \le 6 \times 317$

$1268 \le 200x + 700 \le 1902$

$568 \le 200x \le 1202$

$2.84 \le x \le 6.01$

次に、(B) を行ってから (A) を行う場合を考える。

(B) の操作後、食塩水の重さは 207g、食塩の重さは 2x+7 g。

(A) の操作後、食塩水の重さは 317g、食塩の重さは 2x+7 g。

濃度は $\frac{2x+7}{317} \times 100$ %。これは (A) の後 (B) を行った場合と同じ。

したがって、 $2.84 \le x \le 6.01$。

1 回の操作では 4% 以上 6% 以下にならない条件より、$x$ の範囲は $2.71 < x < 6.2$ および $x<0.64$ または $x>9.3$。

2 回の操作で 4% 以上 6% 以下になる範囲は $2.84 \le x \le 6.01$ なので、1 回の操作で条件を満たさない $x$ は $2.71 < x < 6.2$ に含まれている必要があり、これは $2.84 \le x \le 6.01$ に含まれているので題意に合う。

3. 最終的な答え

(1) 食塩の重さ: $2x$ g, 濃度: $\frac{20x}{31}$ %

(2) $0.64 \le x \le 2.71$ または $6.2 \le x \le 9.3$

(3) $2.84 \le x \le 6.01$