与えられた式を計算して、その値を求めます。式は以下の通りです。 $\frac{4}{3}\pi \left( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}} \right)^3 + \left( \frac{k - 4\pi \cdot 4(\pi+6)}{6} \right)^{\frac{3}{2}}$

1. 問題の内容

与えられた式を計算して、その値を求めます。式は以下の通りです。

$\frac{4}{3}\pi \left( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}} \right)^3 + \left( \frac{k - 4\pi \cdot 4(\pi+6)}{6} \right)^{\frac{3}{2}}$

2. 解き方の手順

まず、式の最初の項を計算します。

$\left( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}} \right)^3 = \frac{1}{8} \left( \frac{k}{\pi+6} \right)^{\frac{3}{2}}$

したがって、最初の項は

$\frac{4}{3}\pi \left( \frac{1}{8} \left( \frac{k}{\pi+6} \right)^{\frac{3}{2}} \right) = \frac{\pi}{6} \left( \frac{k}{\pi+6} \right)^{\frac{3}{2}}$

次に、式の2番目の項を計算します。

$\left( \frac{k - 4\pi \cdot 4(\pi+6)}{6} \right)^{\frac{3}{2}} = \left( \frac{k - 16\pi(\pi+6)}{6} \right)^{\frac{3}{2}}$

したがって、式全体は次のようになります。

$\frac{\pi}{6} \left( \frac{k}{\pi+6} \right)^{\frac{3}{2}} + \left( \frac{k - 16\pi(\pi+6)}{6} \right)^{\frac{3}{2}}$

画像から$k = 4\pi$と読み取れるため、これを代入します。

最初の項：

$\frac{\pi}{6} \left( \frac{4\pi}{\pi+6} \right)^{\frac{3}{2}}$

第二の項：

$\left( \frac{4\pi - 16\pi(\pi+6)}{6} \right)^{\frac{3}{2}} = \left( \frac{4\pi(1-4(\pi+6))}{6} \right)^{\frac{3}{2}} = \left( \frac{4\pi(1-4\pi-24)}{6} \right)^{\frac{3}{2}} = \left( \frac{4\pi(-4\pi-23)}{6} \right)^{\frac{3}{2}} = \left( \frac{-2\pi(4\pi+23)}{3} \right)^{\frac{3}{2}}$

これ以上簡略化できないので、これが最終的な答えとなります。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6} \left( \frac{4\pi}{\pi+6} \right)^{\frac{3}{2}} + \left( \frac{-2\pi(4\pi+23)}{3} \right)^{\frac{3}{2}}$