複素数 $z$ ($z \neq i$) に対して、複素数 $w$ を $w = \frac{z+i}{z-i}$ で定める。複素数平面上で、点 $z$ が以下の図形上を動くとき、点 $w$ はどのような図形を描くか。また、その図形を複素数平面上に図示せよ。 (1) 原点を中心とする半径1の円。 (2) 点 $-i$ を中心とする半径1の円。

1. 問題の内容

複素数 $z$ ($z \neq i$) に対して、複素数 $w$ を $w = \frac{z+i}{z-i}$ で定める。複素数平面上で、点 $z$ が以下の図形上を動くとき、点 $w$ はどのような図形を描くか。また、その図形を複素数平面上に図示せよ。

(1) 原点を中心とする半径1の円。

(2) 点 $-i$ を中心とする半径1の円。

2. 解き方の手順

(1) $z$ が原点を中心とする半径1の円上にあるとき、$|z| = 1$ である。

$w = \frac{z+i}{z-i}$ を変形すると、

$w(z-i) = z+i$

$wz - wi = z + i$

$wz - z = wi + i$

$z(w-1) = i(w+1)$

$z = i\frac{w+1}{w-1}$

$|z|=1$ なので、

$\left| i\frac{w+1}{w-1} \right| = 1$

$|i| \left| \frac{w+1}{w-1} \right| = 1$

$\left| \frac{w+1}{w-1} \right| = 1$

$|w+1| = |w-1|$

$w=x+yi$ とおくと、$|x+yi+1| = |x+yi-1|$ より

$|(x+1)+yi| = |(x-1)+yi|$

$\sqrt{(x+1)^2+y^2} = \sqrt{(x-1)^2+y^2}$

$(x+1)^2+y^2 = (x-1)^2+y^2$

$x^2+2x+1+y^2 = x^2-2x+1+y^2$

$4x = 0$

$x=0$

したがって、$w$ は虚軸上にある。

(2) $z$ が点 $-i$ を中心とする半径1の円上にあるとき、$|z+i| = 1$ である。

$w = \frac{z+i}{z-i}$ を変形すると、$z+i = w(z-i)$ より

$z+i = wz - wi$

$z-wz = -i-wi$

$z(1-w) = -i(1+w)$

$z = -i \frac{1+w}{1-w}$

$z+i = -i \frac{1+w}{1-w} + i = i \left(1 - \frac{1+w}{1-w}\right) = i\frac{1-w-1-w}{1-w} = i \frac{-2w}{1-w}$

$|z+i| = 1$ なので、$\left| i\frac{-2w}{1-w} \right| = 1$ より

$\frac{2|w|}{|1-w|} = 1$

$2|w| = |1-w|$

$2|x+yi| = |1-(x+yi)|$

$2\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{(1-x)^2+y^2}$

$4(x^2+y^2) = (1-x)^2+y^2$

$4x^2+4y^2 = 1-2x+x^2+y^2$

$3x^2+3y^2+2x-1 = 0$

$x^2 + y^2 + \frac{2}{3} x - \frac{1}{3} = 0$

$\left( x + \frac{1}{3} \right)^2 + y^2 = \frac{1}{9} + \frac{1}{3} = \frac{4}{9} = \left( \frac{2}{3} \right)^2$

したがって、$w$ は中心 $-\frac{1}{3}$、半径 $\frac{2}{3}$ の円を描く。

3. 最終的な答え

(1) $w$ は虚軸上にある。

(2) $w$ は中心 $-\frac{1}{3}$、半径 $\frac{2}{3}$ の円を描く。