$a > 0$ のとき、区間 $0 \le x \le a$ における関数 $f(x) = -x^2 + 2x$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a > 0$ のとき、区間 $0 \le x \le a$ における関数 $f(x) = -x^2 + 2x$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 - 2x) = -(x^2 - 2x + 1 - 1) = -(x - 1)^2 + 1$

これは上に凸な放物線で、頂点は $(1, 1)$ です。

区間 $0 \le x \le a$ における最大値と最小値を考えます。場合分けが必要です。

(1) $0 < a < 1$ のとき

区間 $0 \le x \le a$ は頂点 $x=1$ を含みません。

$f(x)$ は $x=0$ で最小値 $f(0) = 0$ をとります。

$f(x)$ は $x=a$ で最大値 $f(a) = -a^2 + 2a$ をとります。

(2) $a = 1$ のとき

区間 $0 \le x \le 1$ は頂点 $x=1$ を含みます。

$f(x)$ は $x=0$ で最小値 $f(0) = 0$ をとります。

$f(x)$ は $x=1$ で最大値 $f(1) = 1$ をとります。

(3) $a > 1$ のとき

区間 $0 \le x \le a$ は頂点 $x=1$ を含みます。

$f(x)$ は $x=1$ で最大値 $f(1) = 1$ をとります。

$f(x)$ は $x=0$ で最小値 $f(0) = 0$ をとります。

まとめると、

* $0 < a \le 1$ のとき：

最大値 $-a^2 + 2a$ ($x=a$のとき)

最小値 $0$ ($x=0$のとき)

* $a > 1$ のとき：

最大値 $1$ ($x=1$のとき)

最小値 $0$ ($x=0$のとき)

3. 最終的な答え

* $0 < a \le 1$ のとき：

最大値： $-a^2 + 2a$ ($x=a$)

最小値： $0$ ($x=0$)

* $a > 1$ のとき：

最大値： $1$ ($x=1$)

最小値： $0$ ($x=0$)