(1) 放物線 $y = x^2 - 4x$ を、$x$軸方向に2、$y$軸方向に-1だけ平行移動した後の放物線の方程式を求めます。 (2) ある放物線を$x$軸方向に1、$y$軸方向に-2だけ平行移動した後、$x$軸に関して対称移動したところ、放物線 $y = -x^2 - 3x + 3$ となりました。もとの放物線の方程式を求めます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = x^2 - 4x$ を、$x$軸方向に2、$y$軸方向に-1だけ平行移動した後の放物線の方程式を求めます。

(2) ある放物線を$x$軸方向に1、$y$軸方向に-2だけ平行移動した後、$x$軸に関して対称移動したところ、放物線 $y = -x^2 - 3x + 3$ となりました。もとの放物線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 平行移動

$x$軸方向に$p$、$y$軸方向に$q$だけ平行移動すると、$x$は$x-p$、$y$は$y-q$に置き換わります。

与えられた放物線 $y = x^2 - 4x$ を、$x$軸方向に2、$y$軸方向に-1だけ平行移動すると、

$y - (-1) = (x-2)^2 - 4(x-2)$

$y + 1 = x^2 - 4x + 4 - 4x + 8$

$y + 1 = x^2 - 8x + 12$

$y = x^2 - 8x + 11$

(2) 逆算による元の放物線の特定

まず、$x$軸に関して対称移動する前の放物線を求めます。$x$軸に関して対称移動すると、$y$が$-y$に置き換わるので、

$-y = -x^2 - 3x + 3$

$y = x^2 + 3x - 3$

次に、$x$軸方向に1、$y$軸方向に-2だけ平行移動する前の放物線を求めます。

平行移動の逆変換を考え、$x$を$x+1$、$y$を$y+2$に置き換えます。

$y + 2 = (x+1)^2 + 3(x+1) - 3$

$y + 2 = x^2 + 2x + 1 + 3x + 3 - 3$

$y + 2 = x^2 + 5x + 1$

$y = x^2 + 5x - 1$

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 - 8x + 11$

(2) $y = x^2 + 5x - 1$