$x + y = 2$ のとき、$x^2 + y^2$ の最小値を求め、そのときの $x, y$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x + y = 2$ のとき、$x^2 + y^2$ の最小値を求め、そのときの $x, y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x+y=2$ を $y$ について解きます。

$y = 2 - x$

これを $x^2 + y^2$ に代入すると、

$x^2 + y^2 = x^2 + (2-x)^2$

これを展開して整理します。

$x^2 + (2-x)^2 = x^2 + 4 - 4x + x^2 = 2x^2 - 4x + 4$

$2x^2 - 4x + 4$ を平方完成します。

$2x^2 - 4x + 4 = 2(x^2 - 2x) + 4 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 4 = 2((x-1)^2 - 1) + 4 = 2(x-1)^2 - 2 + 4 = 2(x-1)^2 + 2$

$2(x-1)^2 + 2$ は、$x=1$ のとき最小値 $2$ をとります。

このとき、$y = 2 - x = 2 - 1 = 1$

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2$ の最小値は $2$

そのときの $x, y$ の値は $x=1, y=1$