(1) 関数 $y = |2x - 1| + |x - 2|$ のグラフを描け。 (2) 方程式 $|2x - 1| + |x - 2| = 2$ を満たす $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = |2x - 1| + |x - 2|$ のグラフを描け。

(2) 方程式 $|2x - 1| + |x - 2| = 2$ を満たす $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(2)について解きます。

絶対値記号を外すために場合分けを行います。

場合1：$x < \frac{1}{2}$ のとき、$2x - 1 < 0$ かつ $x - 2 < 0$ であるため、

$|2x - 1| = -(2x - 1) = -2x + 1$

$|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2$

したがって、方程式は

$(-2x + 1) + (-x + 2) = 2$

$-3x + 3 = 2$

$-3x = -1$

$x = \frac{1}{3}$

これは$x < \frac{1}{2}$ を満たす。

場合2：$\frac{1}{2} \le x < 2$ のとき、$2x - 1 \ge 0$ かつ $x - 2 < 0$ であるため、

$|2x - 1| = 2x - 1$

$|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2$

したがって、方程式は

$(2x - 1) + (-x + 2) = 2$

$x + 1 = 2$

$x = 1$

これは$\frac{1}{2} \le x < 2$ を満たす。

場合3：$x \ge 2$ のとき、$2x - 1 > 0$ かつ $x - 2 \ge 0$ であるため、

$|2x - 1| = 2x - 1$

$|x - 2| = x - 2$

したがって、方程式は

$(2x - 1) + (x - 2) = 2$

$3x - 3 = 2$

$3x = 5$

$x = \frac{5}{3}$

これは$x \ge 2$ を満たさない。

したがって、方程式を満たす $x$ の値は $\frac{1}{3}$ と $1$ である。

3. 最終的な答え

$x = \frac{1}{3}, 1$