以下の連立不等式を解きます。 $\begin{cases} x^2-4x-1<0 \\ x^2-2x-4>0 \end{cases}$

1. 問題の内容

以下の連立不等式を解きます。

$\begin{cases}

x^2-4x-1<0 \\

x^2-2x-4>0

\end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解きます。

1つ目の不等式 $x^2 - 4x - 1 < 0$ を解きます。

$x^2 - 4x - 1 = 0$ の解は、解の公式より

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16+4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$

したがって、$x^2 - 4x - 1 < 0$ の解は $2 - \sqrt{5} < x < 2 + \sqrt{5}$ です。

2つ目の不等式 $x^2 - 2x - 4 > 0$ を解きます。

$x^2 - 2x - 4 = 0$ の解は、解の公式より

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4+16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$

したがって、$x^2 - 2x - 4 > 0$ の解は $x < 1 - \sqrt{5}$ または $x > 1 + \sqrt{5}$ です。

連立不等式の解は、$2 - \sqrt{5} < x < 2 + \sqrt{5}$ かつ ($x < 1 - \sqrt{5}$ または $x > 1 + \sqrt{5}$) を満たす $x$ の範囲です。

ここで、$\sqrt{5} \approx 2.236$ なので、

$2 - \sqrt{5} \approx 2 - 2.236 = -0.236$

$2 + \sqrt{5} \approx 2 + 2.236 = 4.236$

$1 - \sqrt{5} \approx 1 - 2.236 = -1.236$

$1 + \sqrt{5} \approx 1 + 2.236 = 3.236$

したがって、$2 - \sqrt{5} < x < 2 + \sqrt{5}$ は約 $-0.236 < x < 4.236$ であり、$x < 1 - \sqrt{5}$ または $x > 1 + \sqrt{5}$ は約 $x < -1.236$ または $x > 3.236$ です。

よって、連立不等式の解は $2 - \sqrt{5} < x < 1 - \sqrt{5}$ は存在しないので、$1 + \sqrt{5} < x < 2 + \sqrt{5}$ です。

より正確には、$2-\sqrt{5} \approx -0.236$、$1-\sqrt{5} \approx -1.236$なので$2-\sqrt{5} > 1 - \sqrt{5}$なので、$2-\sqrt{5} < x < 1 - \sqrt{5}$は存在しないことが分かります。

同様に、$1+\sqrt{5} \approx 3.236$、$2+\sqrt{5} \approx 4.236$なので、$1+\sqrt{5} < x < 2+\sqrt{5}$が連立不等式の解となります。

3. 最終的な答え

$1 + \sqrt{5} < x < 2 + \sqrt{5}$