$x \ge 0$, $y \ge 0$, $2x+y=3$ を満たす実数 $x$, $y$ を考える。$x(3y-1)$ の最小値と最大値、およびそのときの $x$ の値を求めよ。

## 問題23

1. 問題の内容

$x \ge 0$, $y \ge 0$, $2x+y=3$ を満たす実数 $x$, $y$ を考える。$x(3y-1)$ の最小値と最大値、およびそのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$2x+y=3$ より $y = 3 - 2x$ である。これを $x(3y-1)$ に代入する。

$x(3y-1) = x(3(3-2x)-1) = x(9-6x-1) = x(8-6x) = 8x - 6x^2 = -6x^2 + 8x$

次に、$x$ の範囲を求める。

$x \ge 0$ かつ $y \ge 0$ より、$3-2x \ge 0$ であるから、$2x \le 3$ よって $x \le \frac{3}{2}$

したがって、$0 \le x \le \frac{3}{2}$

$f(x) = -6x^2 + 8x$ とすると、この関数の最大値と最小値を $0 \le x \le \frac{3}{2}$ の範囲で求める。

$f(x) = -6(x^2 - \frac{4}{3}x) = -6(x^2 - \frac{4}{3}x + (\frac{2}{3})^2) + 6(\frac{2}{3})^2 = -6(x-\frac{2}{3})^2 + 6 \cdot \frac{4}{9} = -6(x-\frac{2}{3})^2 + \frac{8}{3}$

これは上に凸な放物線で、頂点は $(x, f(x)) = (\frac{2}{3}, \frac{8}{3})$ である。

$x = 0$ のとき $f(0) = 0$

$x = \frac{3}{2}$ のとき $f(\frac{3}{2}) = -6(\frac{3}{2})^2 + 8(\frac{3}{2}) = -6(\frac{9}{4}) + 12 = -\frac{27}{2} + 12 = -\frac{3}{2}$

したがって、

最小値は $x=\frac{3}{2}$ のとき $-\frac{3}{2}$

最大値は $x=\frac{2}{3}$ のとき $\frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

$x(3y-1)$ は $x=\frac{3}{2}$ で最小値 $-\frac{3}{2}$ をとり、$x=\frac{2}{3}$ で最大値 $\frac{8}{3}$ をとる。