2次関数 $f(x) = ax^2 - 6ax + b$ が、区間 $1 \le x \le 4$ において最大値11、最小値8をとる。$a > 0$ の場合と $a < 0$ の場合について、$b$ の値をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = ax^2 - 6ax + b$ が、区間 $1 \le x \le 4$ において最大値11、最小値8をとる。$a > 0$ の場合と $a < 0$ の場合について、$b$ の値をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$f(x) = a(x^2 - 6x) + b = a(x^2 - 6x + 9 - 9) + b = a(x - 3)^2 - 9a + b$

軸は $x = 3$ です。

(1) $a > 0$ のとき：

グラフは下に凸です。区間 $1 \le x \le 4$ に軸 $x = 3$ が含まれるので、最小値は頂点でとります。つまり、$f(3) = -9a + b = 8$ 。

最大値は区間の端点でとります。$f(1) = a - 6a + b = -5a + b$ または $f(4) = 16a - 24a + b = -8a + b$ です。

$|1-3| = 2$, $|4-3| = 1$ なので、$x=1$ の方が軸から遠いです。したがって、$f(1) = -5a + b = 11$。

$-5a + b = 11$

$-9a + b = 8$

上の式から下の式を引くと $4a = 3$ より $a = \frac{3}{4}$。

$-9(\frac{3}{4}) + b = 8$

$-\frac{27}{4} + b = 8$

$b = 8 + \frac{27}{4} = \frac{32}{4} + \frac{27}{4} = \frac{59}{4}$

(2) $a < 0$ のとき：

グラフは上に凸です。区間 $1 \le x \le 4$ に軸 $x = 3$ が含まれるので、最大値は頂点でとります。つまり、$f(3) = -9a + b = 11$ 。

最小値は区間の端点でとります。$f(1) = -5a + b$ または $f(4) = -8a + b$ です。

$x=1$ の方が軸から遠いので、$f(1) = -5a + b = 8$。

$-5a + b = 8$

$-9a + b = 11$

上の式から下の式を引くと $4a = -3$ より $a = -\frac{3}{4}$。

$-5(-\frac{3}{4}) + b = 8$

$\frac{15}{4} + b = 8$

$b = 8 - \frac{15}{4} = \frac{32}{4} - \frac{15}{4} = \frac{17}{4}$

3. 最終的な答え

$a > 0$ ならば $b = \frac{59}{4}$

$a < 0$ ならば $b = \frac{17}{4}$