定数 $a$ に対して、すべての実数 $x$ について不等式 $x^2 + 4x + a > 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

定数 $a$ に対して、すべての実数 $x$ について不等式 $x^2 + 4x + a > 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた不等式 $x^2 + 4x + a > 0$ がすべての実数 $x$ に対して成り立つ条件を考えます。

これは、2次関数 $y = x^2 + 4x + a$ のグラフが常に $x$ 軸より上にあることを意味します。

つまり、2次方程式 $x^2 + 4x + a = 0$ が実数解を持たない条件を求めればよいです。

2次方程式が実数解を持たない条件は、判別式 $D$ が負であることです。

判別式 $D$ は、

$D = b^2 - 4ac$

で与えられます。

この問題の場合、$a=1, b=4, c=a$ なので、判別式は

$D = 4^2 - 4(1)(a) = 16 - 4a$

となります。

不等式 $x^2 + 4x + a > 0$ がすべての実数 $x$ に対して成り立つためには、$D < 0$ でなければなりません。

したがって、

$16 - 4a < 0$

$-4a < -16$

$4a > 16$

$a > 4$

3. 最終的な答え

$a > 4$