与えられた連立一次方程式を解き、$x, y, z$ の値を求め、ベクトル形式で解答する。 連立一次方程式は以下の通り。 $4x + y + z = -26$ $x - y + 3z = -11$ $x + 2y - z = -8$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解き、$x, y, z$ の値を求め、ベクトル形式で解答する。

連立一次方程式は以下の通り。

$4x + y + z = -26$

$x - y + 3z = -11$

$x + 2y - z = -8$

2. 解き方の手順

連立一次方程式を行列で表現すると、

$\begin{bmatrix} 4 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -26 \\ -11 \\ -8 \end{bmatrix}$

拡大係数行列を作成し、行基本変形を用いて解く。

$\begin{bmatrix} 4 & 1 & 1 & | & -26 \\ 1 & -1 & 3 & | & -11 \\ 1 & 2 & -1 & | & -8 \end{bmatrix}$

1行目と2行目を入れ替える。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 & | & -11 \\ 4 & 1 & 1 & | & -26 \\ 1 & 2 & -1 & | & -8 \end{bmatrix}$

2行目から1行目の4倍を引く。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 & | & -11 \\ 0 & 5 & -11 & | & 18 \\ 1 & 2 & -1 & | & -8 \end{bmatrix}$

3行目から1行目を引く。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 & | & -11 \\ 0 & 5 & -11 & | & 18 \\ 0 & 3 & -4 & | & -3 \end{bmatrix}$

2行目を5で割る。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 & | & -11 \\ 0 & 1 & -11/5 & | & 18/5 \\ 0 & 3 & -4 & | & -3 \end{bmatrix}$

3行目から2行目の3倍を引く。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 & | & -11 \\ 0 & 1 & -11/5 & | & 18/5 \\ 0 & 0 & 13/5 & | & -69/5 \end{bmatrix}$

3行目を $13/5$ で割る。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 & | & -11 \\ 0 & 1 & -11/5 & | & 18/5 \\ 0 & 0 & 1 & | & -69/13 \end{bmatrix}$

3行目より、$z = -69/13 = -5.3077$

2行目より、$y - \frac{11}{5}z = \frac{18}{5}$

$y = \frac{18}{5} + \frac{11}{5}z = \frac{18}{5} + \frac{11}{5} (-\frac{69}{13}) = \frac{18 \cdot 13 - 11 \cdot 69}{5 \cdot 13} = \frac{234 - 759}{65} = \frac{-525}{65} = -\frac{105}{13} = -8.0769$

1行目より、$x - y + 3z = -11$

$x = -11 + y - 3z = -11 - \frac{105}{13} - 3(-\frac{69}{13}) = \frac{-11 \cdot 13 - 105 + 3 \cdot 69}{13} = \frac{-143 - 105 + 207}{13} = \frac{-41}{13} = -3.1538$

$x = -41/13$

$y = -105/13$

$z = -69/13$

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -41/13 \\ -105/13 \\ -69/13 \end{bmatrix}$