次の2つの2次関数の最大値と最小値を、定義域内で求めます。 (1) $y = 2x^2 - 4x + 1$ ($0 \le x \le 3$) (3) $y = 2x^2 + 4x + 7$ ($-3 \le x \le 0$)

1. 問題の内容

次の2つの2次関数の最大値と最小値を、定義域内で求めます。

(1) $y = 2x^2 - 4x + 1$ ($0 \le x \le 3$)

(3) $y = 2x^2 + 4x + 7$ ($-3 \le x \le 0$)

2. 解き方の手順

(1) $y = 2x^2 - 4x + 1$ ($0 \le x \le 3$)

まず、2次関数を平方完成します。

$y = 2(x^2 - 2x) + 1$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1$

$y = 2((x - 1)^2 - 1) + 1$

$y = 2(x - 1)^2 - 2 + 1$

$y = 2(x - 1)^2 - 1$

この2次関数の頂点は $(1, -1)$ です。定義域は $0 \le x \le 3$ です。

頂点の$x$座標である$x=1$は定義域に含まれています。

$x = 1$ のとき、 $y = -1$ (最小値)

$x = 0$ のとき、 $y = 2(0 - 1)^2 - 1 = 2(1) - 1 = 1$

$x = 3$ のとき、 $y = 2(3 - 1)^2 - 1 = 2(2)^2 - 1 = 2(4) - 1 = 8 - 1 = 7$ (最大値)

(3) $y = 2x^2 + 4x + 7$ ($-3 \le x \le 0$)

まず、2次関数を平方完成します。

$y = 2(x^2 + 2x) + 7$

$y = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 7$

$y = 2((x + 1)^2 - 1) + 7$

$y = 2(x + 1)^2 - 2 + 7$

$y = 2(x + 1)^2 + 5$

この2次関数の頂点は $(-1, 5)$ です。定義域は $-3 \le x \le 0$ です。

頂点の$x$座標である$x=-1$は定義域に含まれています。

$x = -1$ のとき、 $y = 5$ (最小値)

$x = -3$ のとき、 $y = 2(-3 + 1)^2 + 5 = 2(-2)^2 + 5 = 2(4) + 5 = 8 + 5 = 13$ (最大値)

$x = 0$ のとき、 $y = 2(0 + 1)^2 + 5 = 2(1)^2 + 5 = 2 + 5 = 7$

3. 最終的な答え

(1) 最小値: -1 ($x = 1$のとき), 最大値: 7 ($x = 3$のとき)

(3) 最小値: 5 ($x = -1$のとき), 最大値: 13 ($x = -3$のとき)