$R^2$において、ベクトル $\mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}$ と $\mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$ が一次独立であることを示す。

## 問題3

1. 問題の内容

$R^2$において、ベクトル $\mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}$ と $\mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$ が一次独立であることを示す。

2. 解き方の手順

一次独立を示すためには、スカラー $c_1$ と $c_2$ に対して、

$c_1 \mathbf{b}_1 + c_2 \mathbf{b}_2 = \mathbf{0}$ が成り立つとき、$c_1 = c_2 = 0$ であることを示す必要がある。

つまり、

$c_1 \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

この式は、以下の連立一次方程式に対応する。

$3c_1 + 5c_2 = 0$

$-2c_1 + c_2 = 0$

二番目の式から $c_2 = 2c_1$ を得る。

これを一番目の式に代入すると、

$3c_1 + 5(2c_1) = 0$

$3c_1 + 10c_1 = 0$

$13c_1 = 0$

$c_1 = 0$

したがって、$c_2 = 2c_1 = 2(0) = 0$ となる。

$c_1 = c_2 = 0$ であるため、$\mathbf{b}_1$ と $\mathbf{b}_2$ は一次独立である。

3. 最終的な答え

$\mathbf{b}_1$ と $\mathbf{b}_2$ は一次独立である。

## 問題4

1. 問題の内容

$R^2$において、ベクトル $\mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}$、$\mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$、$\mathbf{b}_3 = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}$ が一次従属であることを示し、$\mathbf{b}_3$ を $\mathbf{b}_1$ と $\mathbf{b}_2$ の一次結合で表す。

2. 解き方の手順

一次従属を示すためには、スカラー $c_1, c_2, c_3$ で、少なくとも一つは0でないものが存在して、

$c_1 \mathbf{b}_1 + c_2 \mathbf{b}_2 + c_3 \mathbf{b}_3 = \mathbf{0}$

が成り立つことを示す必要がある。

つまり、

$c_1 \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

この式は、以下の連立一次方程式に対応する。

$3c_1 + 5c_2 + 4c_3 = 0$

$-2c_1 + c_2 + 6c_3 = 0$

これを解く。2番目の式を2倍して最初の式に足すと

$3c_1 + 5c_2 + 4c_3 + 2(-2c_1 + c_2 + 6c_3) = 0$

$-c_1 + 7c_2 + 16c_3 = 0$

$c_1 = 7c_2 + 16c_3$

これを最初の式に代入すると

$3(7c_2 + 16c_3) + 5c_2 + 4c_3 = 0$

$21c_2 + 48c_3 + 5c_2 + 4c_3 = 0$

$26c_2 + 52c_3 = 0$

$c_2 = -2c_3$

$c_1 = 7(-2c_3) + 16c_3 = -14c_3 + 16c_3 = 2c_3$

$c_3 = 1$とすると $c_1 = 2, c_2 = -2$となり、これらは全て0ではない。

$2\mathbf{b}_1 -2\mathbf{b}_2 + \mathbf{b}_3 = \mathbf{0}$

$\mathbf{b}_3 = -2\mathbf{b}_1 + 2\mathbf{b}_2$

$\mathbf{b}_3$ を $\mathbf{b}_1$ と $\mathbf{b}_2$ の一次結合で表すと

$\mathbf{b}_3 = c_1\mathbf{b}_1 + c_2\mathbf{b}_2$

$\begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix} = c_1\begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$

$4 = 3c_1 + 5c_2$

$6 = -2c_1 + c_2$

2番目の式を5倍して1番目の式から引く

$4 - 5(6) = 3c_1 + 5c_2 - 5(-2c_1 + c_2)$

$-26 = 13c_1$

$c_1 = -2$

$6 = -2(-2) + c_2$

$6 = 4 + c_2$

$c_2 = 2$

したがって $\mathbf{b}_3 = -2\mathbf{b}_1 + 2\mathbf{b}_2$

3. 最終的な答え

$\mathbf{b}_1$, $\mathbf{b}_2$, $\mathbf{b}_3$ は一次従属であり、$\mathbf{b}_3 = -2\mathbf{b}_1 + 2\mathbf{b}_2$