与えられた拡大係数行列の行基本変形を穴埋めし、連立一次方程式の解を求める問題です。具体的には、行列変形の過程における係数 $k_1$ から $k_8$ と、最終的な解 $x, y, z$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた拡大係数行列の行基本変形を穴埋めし、連立一次方程式の解を求める問題です。具体的には、行列変形の過程における係数 $k_1$ から $k_8$ と、最終的な解 $x, y, z$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた拡大係数行列の変形を順番に見ていきます。

1. $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & 11 \\ 3 & 2 & 5 & 3 \end{bmatrix}$ から $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & -5 & -1 & m_1 \\ 3 & 2 & 5 & 3 \end{bmatrix}$ への変形は、2行目に 1行目の $-2$ 倍を加えたものです。したがって $k_1 = -2$ (イウ)、$m_1 = 11 - 2 \times 5 = 1$、そして変形は $② + ① \times k_1$ なので、「あ」は①です。

2. $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & -5 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 5 & 3 \end{bmatrix}$ から $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & -5 & -1 & 1 \\ 0 & -4 & -4 & m_2 \end{bmatrix}$ への変形は、3行目に 1行目の $-3$ 倍を加えたものです。したがって $k_2 = -3$ (オカ)、$m_2 = 3 - 3 \times 5 = -12$、そして変形は $③ + ① \times k_2$ なので、「え」は①です。

3. $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & -5 & -1 & 1 \\ 0 & -4 & -4 & -12 \end{bmatrix}$ から $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & -5 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & m_3 \end{bmatrix}$ への変形は、3行目に $-\frac{1}{4}$を掛けたものです。 しかし、変形は $③ \times k_3$ となっているので、$k_3 = -\frac{1}{4}$　（キク）、そして　$m_3 = \frac{-12}{-4}=3$となります。

4. $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & -5 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ から $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & m_4 \\ 0 & -5 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ への変形は、1行目に3行目の $-2$ 倍を加えたものです。したがって $k_4 = -2$ (サシ)、$m_4 = 5 - 2 \times 3 = -1$、そして変形は $① + ③ \times k_4$ なので、「こ」は③です。

5. $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & -5 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ から $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 4 & m_5 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ への変形は、2行目に3行目の $5$ 倍を加えたものです。したがって $k_5 = 5$ (セソ)、$m_5 = 1 + 5 \times 3 = 16$、そして変形は $② + ③ \times k_5$ なので、「す」は③です。

6. $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 4 & 16 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ から $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & m_6 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ への変形は、2行目に $\frac{1}{4}$ を掛けたものです。したがって $k_6 = \frac{1}{4}$ (タチ)、$m_6 = \frac{16}{4} = 4$、そして変形は $② \times k_6$ なので、「ち」は なし。

7. $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ から $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}$ への変形は、2行目と3行目を入れ替えたものです。

8. $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}$ から $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & m_7 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}$ への変形は、1行目に3行目の $-1$ 倍を加えたものです。したがって $k_7 = -1$ (トナ)、$m_7 = -1 - 1 \times 4 = -5$、そして変形は $① + ③ \times k_7$ なので、「て」は③です。

9. $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}$ から $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 0 & m_8 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}$ への変形は、2行目に3行目の $-1$ 倍を加えたものです。したがって $k_8 = -1$ (ヌネ)、$m_8 = 3 - 1 \times 4 = -1$、そして変形は $② + ③ \times k_8$ なので、「に」は③です。

したがって、$x = m_7 = -5$, $y = m_8 = -1$, $z = m_9 = 4$ なので、

$x = -5$ (ノハ)、$y = -1$ (ヒフ)、$z = 4$ (ヘホ) を得ます。

3. 最終的な答え

$k_1 = -2$

$k_2 = -3$

$k_3 = -\frac{1}{4}$

$k_4 = -2$

$k_5 = 5$

$k_6 = \frac{1}{4}$

$k_7 = -1$

$k_8 = -1$

$x = -5$

$y = -1$

$z = 4$