2次関数 $y = -x^2 + 4lx - l + 5$ において、$2 \le x \le 4$ の範囲での最小値が3であるとき、正の定数 $l$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 4lx - l + 5$ において、$2 \le x \le 4$ の範囲での最小値が3であるとき、正の定数 $l$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 4lx - l + 5$

$y = -(x^2 - 4lx) - l + 5$

$y = -(x^2 - 4lx + (2l)^2 - (2l)^2) - l + 5$

$y = -(x - 2l)^2 + 4l^2 - l + 5$

これにより、頂点の座標が $(2l, 4l^2 - l + 5)$ であることがわかります。

次に、定義域 $2 \le x \le 4$ と頂点の $x$ 座標 $2l$ の位置関係によって場合分けを行います。

(i) $2l < 2$ のとき、つまり $l < 1$ のとき

この場合、定義域の左端 $x=2$ で最小値をとります。

$x=2$ を代入して

$y = -2^2 + 4l(2) - l + 5 = -4 + 8l - l + 5 = 7l + 1$

これが最小値3なので、

$7l + 1 = 3$

$7l = 2$

$l = \frac{2}{7}$

これは $l < 1$ を満たします。

(ii) $2 \le 2l \le 4$ のとき、つまり $1 \le l \le 2$ のとき

この場合、頂点で最小値をとります。

頂点の $y$ 座標が最小値3なので、

$4l^2 - l + 5 = 3$

$4l^2 - l + 2 = 0$

この2次方程式の判別式を計算すると、

$D = (-1)^2 - 4(4)(2) = 1 - 32 = -31 < 0$

したがって、実数解を持ちません。

(iii) $2l > 4$ のとき、つまり $l > 2$ のとき

この場合、定義域の右端 $x=4$ で最小値をとります。

$x=4$ を代入して

$y = -4^2 + 4l(4) - l + 5 = -16 + 16l - l + 5 = 15l - 11$

これが最小値3なので、

$15l - 11 = 3$

$15l = 14$

$l = \frac{14}{15}$

これは $l > 2$ を満たしません。

したがって、$l = \frac{2}{7}$ のみが条件を満たす解です。

3. 最終的な答え

$l = \frac{2}{7}$