与えられた集合 $W$ が、ベクトル空間 $\mathbb{R}^2$ または $\mathbb{R}^3$ の部分空間であるかどうかを判定する問題です。部分空間であるためには、以下の3つの条件を満たす必要があります。 (1) 零ベクトルを含む。 (2) スカラー倍について閉じている。 (3) ベクトルの和について閉じている。 各$W$について上記の条件を満たすかを確認します。

1. 問題の内容

与えられた集合 $W$ が、ベクトル空間 $\mathbb{R}^2$ または $\mathbb{R}^3$ の部分空間であるかどうかを判定する問題です。部分空間であるためには、以下の3つの条件を満たす必要があります。

(1) 零ベクトルを含む。

(2) スカラー倍について閉じている。

(3) ベクトルの和について閉じている。

各$W$について上記の条件を満たすかを確認します。

2. 解き方の手順

(a) $W = \{x \in \mathbb{R}^2 \mid x_1^2 + x_2^2 = 1\}$

零ベクトル $(0, 0)$ は $0^2 + 0^2 = 0 \neq 1$ なので、$W$ は零ベクトルを含みません。したがって、$W$ は部分空間ではありません。

(b) $W = \{x \in \mathbb{R}^2 \mid x_1 + x_2 = 0\}$

零ベクトル $(0, 0)$ は $0 + 0 = 0$ を満たすので、$W$ は零ベクトルを含みます。

$x = (x_1, x_2) \in W$ とすると、$x_1 + x_2 = 0$ です。任意のスカラー $c$ に対して、$cx = (cx_1, cx_2)$ を考えると、$cx_1 + cx_2 = c(x_1 + x_2) = c \cdot 0 = 0$ となり、$cx \in W$ です。

$x = (x_1, x_2) \in W$ と $y = (y_1, y_2) \in W$ を考えると、$x_1 + x_2 = 0$ かつ $y_1 + y_2 = 0$ です。$x + y = (x_1 + y_1, x_2 + y_2)$ を考えると、$(x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) = (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) = 0 + 0 = 0$ となり、$x + y \in W$ です。

したがって、$W$ は部分空間です。

(c) $W = \{x \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + x_2 - x_3 = 0, 3x_1 + x_2 + 2x_3 = 0\}$

零ベクトル $(0, 0, 0)$ は $0 + 0 - 0 = 0$ かつ $3 \cdot 0 + 0 + 2 \cdot 0 = 0$ を満たすので、$W$ は零ベクトルを含みます。

$x = (x_1, x_2, x_3) \in W$ とすると、$x_1 + x_2 - x_3 = 0$ かつ $3x_1 + x_2 + 2x_3 = 0$ です。任意のスカラー $c$ に対して、$cx = (cx_1, cx_2, cx_3)$ を考えると、$cx_1 + cx_2 - cx_3 = c(x_1 + x_2 - x_3) = c \cdot 0 = 0$ かつ $3cx_1 + cx_2 + 2cx_3 = c(3x_1 + x_2 + 2x_3) = c \cdot 0 = 0$ となり、$cx \in W$ です。

$x = (x_1, x_2, x_3) \in W$ と $y = (y_1, y_2, y_3) \in W$ を考えると、$x_1 + x_2 - x_3 = 0$ かつ $3x_1 + x_2 + 2x_3 = 0$ であり、$y_1 + y_2 - y_3 = 0$ かつ $3y_1 + y_2 + 2y_3 = 0$ です。$x + y = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3)$ を考えると、$(x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) - (x_3 + y_3) = (x_1 + x_2 - x_3) + (y_1 + y_2 - y_3) = 0 + 0 = 0$ かつ $3(x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) + 2(x_3 + y_3) = (3x_1 + x_2 + 2x_3) + (3y_1 + y_2 + 2y_3) = 0 + 0 = 0$ となり、$x + y \in W$ です。

したがって、$W$ は部分空間です。

(d) $W = \{x \in \mathbb{R}^3 \mid 2x_1 - 3x_2 + x_3 \le 1, 3x_1 + x_2 + 2x_3 \le 1\}$

零ベクトル $(0, 0, 0)$ は $2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 0 = 0 \le 1$ かつ $3 \cdot 0 + 0 + 2 \cdot 0 = 0 \le 1$ を満たすので、$W$ は零ベクトルを含みます。

しかし、$x = (0, 0, 0) \in W$ を考えると、$2x = (0, 0, 0) \in W$ です。

$x=(0, 0, 1)$を考えると、$2x_1-3x_2+x_3 = 1 \le 1$かつ、$3x_1+x_2+2x_3 = 2 \nleq 1$なので、$x \notin W$

$W$は部分空間ではありません。

(e) $W = \{x \in \mathbb{R}^3 \mid x_3 = 2x_1 - 3x_2, 3x_3 = x_1 + 2x_2\}$

零ベクトル $(0, 0, 0)$ は $0 = 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0$ かつ $3 \cdot 0 = 0 + 2 \cdot 0$ を満たすので、$W$ は零ベクトルを含みます。

$x = (x_1, x_2, x_3) \in W$ とすると、$x_3 = 2x_1 - 3x_2$ かつ $3x_3 = x_1 + 2x_2$ です。任意のスカラー $c$ に対して、$cx = (cx_1, cx_2, cx_3)$ を考えると、$cx_3 = 2cx_1 - 3cx_2 = c(2x_1 - 3x_2)$ かつ $3cx_3 = cx_1 + 2cx_2 = c(x_1 + 2x_2)$ となり、$cx \in W$ です。

$x = (x_1, x_2, x_3) \in W$ と $y = (y_1, y_2, y_3) \in W$ を考えると、$x_3 = 2x_1 - 3x_2$ かつ $3x_3 = x_1 + 2x_2$ であり、$y_3 = 2y_1 - 3y_2$ かつ $3y_3 = y_1 + 2y_2$ です。$x + y = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3)$ を考えると、$x_3 + y_3 = (2x_1 - 3x_2) + (2y_1 - 3y_2) = 2(x_1 + y_1) - 3(x_2 + y_2)$ かつ $3(x_3 + y_3) = (x_1 + 2x_2) + (y_1 + 2y_2) = (x_1 + y_1) + 2(x_2 + y_2)$ となり、$x + y \in W$ です。

したがって、$W$ は部分空間です。

(f) $W = \{x \in \mathbb{R}^3 \mid x_1^2 + x_2^2 - x_3^2 = 0, x_1 - x_2 + 2x_3 = 1\}$

零ベクトル $(0, 0, 0)$ は $0^2 + 0^2 - 0^2 = 0$ を満たしますが、$0 - 0 + 2 \cdot 0 = 0 \neq 1$ なので、$W$ は零ベクトルを含みません。したがって、$W$ は部分空間ではありません。

(g) $W = \{x \in \mathbb{R}^3 \mid 2x_1 + x_2 - 2x_3 = 0\}$

零ベクトル $(0, 0, 0)$ は $2 \cdot 0 + 0 - 2 \cdot 0 = 0$ を満たすので、$W$ は零ベクトルを含みます。

$x = (x_1, x_2, x_3) \in W$ とすると、$2x_1 + x_2 - 2x_3 = 0$ です。任意のスカラー $c$ に対して、$cx = (cx_1, cx_2, cx_3)$ を考えると、$2cx_1 + cx_2 - 2cx_3 = c(2x_1 + x_2 - 2x_3) = c \cdot 0 = 0$ となり、$cx \in W$ です。

$x = (x_1, x_2, x_3) \in W$ と $y = (y_1, y_2, y_3) \in W$ を考えると、$2x_1 + x_2 - 2x_3 = 0$ かつ $2y_1 + y_2 - 2y_3 = 0$ です。$x + y = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3)$ を考えると、$2(x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) - 2(x_3 + y_3) = (2x_1 + x_2 - 2x_3) + (2y_1 + y_2 - 2y_3) = 0 + 0 = 0$ となり、$x + y \in W$ です。

したがって、$W$ は部分空間です。

3. 最終的な答え

(a) 部分空間ではない。

(b) 部分空間である。

(c) 部分空間である。

(d) 部分空間ではない。

(e) 部分空間である。

(f) 部分空間ではない。

(g) 部分空間である。