不等式 $2x \le \sqrt{3}(x+1)$ を解いてください。

代数学不等式一次不等式有理化平方根
2025/6/13
## (2) の問題

1. 問題の内容

不等式 2x3(x+1)2x \le \sqrt{3}(x+1) を解いてください。

2. 解き方の手順

まず、右辺を展開します。
2x3x+32x \le \sqrt{3}x + \sqrt{3}
次に、xx を含む項を左辺に、定数項を右辺に移動します。
2x3x32x - \sqrt{3}x \le \sqrt{3}
左辺を xx でくくります。
(23)x3(2 - \sqrt{3})x \le \sqrt{3}
232 - \sqrt{3} は正の数なので、両辺を 232 - \sqrt{3} で割ると、
x323x \le \frac{\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}
右辺の分母を有理化します。分母と分子に 2+32 + \sqrt{3} を掛けます。
x3(2+3)(23)(2+3)x \le \frac{\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}
x23+343x \le \frac{2\sqrt{3} + 3}{4 - 3}
x23+3x \le 2\sqrt{3} + 3

3. 最終的な答え

x23+3x \le 2\sqrt{3} + 3
## (3) の問題

1. 問題の内容

不等式 3x1<5(x3)\sqrt{3}x - 1 < \sqrt{5}(x-\sqrt{3}) を解いてください。

2. 解き方の手順

まず、右辺を展開します。
3x1<5x15\sqrt{3}x - 1 < \sqrt{5}x - \sqrt{15}
次に、xx を含む項を左辺に、定数項を右辺に移動します。
3x5x<115\sqrt{3}x - \sqrt{5}x < 1 - \sqrt{15}
左辺を xx でくくります。
(35)x<115(\sqrt{3} - \sqrt{5})x < 1 - \sqrt{15}
35\sqrt{3} - \sqrt{5} は負の数なので、両辺を 35\sqrt{3} - \sqrt{5} で割ると、不等号の向きが変わります。
x>11535x > \frac{1 - \sqrt{15}}{\sqrt{3} - \sqrt{5}}
右辺の分母を有理化します。分母と分子に 3+5\sqrt{3} + \sqrt{5} を掛けます。
x>(115)(3+5)(35)(3+5)x > \frac{(1 - \sqrt{15})(\sqrt{3} + \sqrt{5})}{(\sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{3} + \sqrt{5})}
x>3+5457535x > \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5} - \sqrt{45} - \sqrt{75}}{3 - 5}
x>3+535532x > \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5} - 3\sqrt{5} - 5\sqrt{3}}{-2}
x>43252x > \frac{-4\sqrt{3} - 2\sqrt{5}}{-2}
x>23+5x > 2\sqrt{3} + \sqrt{5}

3. 最終的な答え

x>23+5x > 2\sqrt{3} + \sqrt{5}

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